Aloha :)
Deine Ableitungen sind korrekt:
$$f(x)=e^x\cos x$$$$f'(x)=e^x\cos x-e^x\sin x=e^x(\cos x-\sin x)$$$$f''(x)=e^x(\cos x-\sin x)+e^x(-\sin x-\cos x)=-2e^x\sin x$$$$f'''(x)=-2e^x\sin x-2e^x\cos x=-2e^x(\sin x+\cos x)$$
zu a) Extremwerte:
Kandidaten für Extremwerte sind dort, wo die erste Ableitung verschwindet. Da die \(e^x\)-Funktion immer positiv ist, sind mögliche Nullstellen von \(f'(x)\) die Nullstellen der Klammer, d.h.
$$\sin x=\cos x\implies\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}=1\implies x=\arctan(1)$$Da \(x\in(0;2\pi)\) und die Tangens-Funktion \(\pi\)-periodisch ist, finden wir zwei Kandidaten für Extrema:$$x_1=\frac{\pi}{4}\quad;\quad x_2=\frac{5\pi}{4}$$Wir prüfen nun die Kandidaten mit Hilfe der zweiten Ableitung:
$$f''\left(\frac\pi4\right)=-e^{\pi/4}\sqrt2<0\quad\implies\quad\text{Maximum}$$$$f''\left(\frac{5\pi}4\right)=e^{5\pi/4}\sqrt2>0\quad\implies\quad\text{Minimum}$$
zu b) Wendepunkte:
Wegen \(e^x>0\) sind die Nullstellen der zweiten Ableitung die Nullstellen der Sinus-Funktion. Im erlaubten Intervall \(x\in(0;2\pi)\) liegt die einzige Nullstelle bei \(x_w=\pi\). Wegen \(f'''(\pi)=2e^\pi\ne0\) liegt dort auch tatsächlich ein Wendepunkt vor.
~plot~ e^x*cos(x) ; [[0|2pi|-40|10]] ; {pi/4|1,55} ; {5pi/4|-35,89} ; {pi|-23,14} ~plot~
