Wie lässt sich das mithilfe eines LGS lösen?

Question

Aufgabe:

Prüfe ob die gegebenen Vektoren komplanar sind.

a) (1,7,2),(1,2,1),(2,-1,1)

b) (1,0,1),(0,1,0),(2,1,2)

c) (2,2,4),(4,6,5),(1,2,2)

Problem/Ansatz:

Wie lässt sich das mithilfe eines LGS lösen?

Answer 1

a) -1·[1, 7, 2] + 3·[1, 2, 1] = [2, -1, 1] → komplanar

b) 2·[1, 0, 1] + 1·[0, 1, 0] = [2, 1, 2] → komplanar

c) a·[2, 2, 4] + b·[4, 6, 5] = [1, 2, 2] → keine Lösung für a und b. Damit nicht komplanar.

Comments

Wie kommst du auf die Ergebnisse genau, also wie sieht der Rechenweg aus um bei a bsp. auf -1 und 3 zu kommen?

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a·[1, 7, 2] + b·[1, 2, 1] = [2, -1, 1]

Das sind eigentlich 3 Gleichungen mit 2 Unbekannten

a + b = 2
7·a + 2·b = -1
2·a + b = 1

Dieses Gleichungssystem musst du jetzt nach a und b lösen. Schaffst du das? Hol dir sonst Hilfe bei einer App die solche Systeme lösen kann.

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Ich raff nicht wie ich das auflösen soll. Könntest du vielleicht eins vorlösen?

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Z.B. Additionsverfahren

a + b = 2
2·a + b = 1

Subtrahiere von der II. die I. Gleichung

a = -1

Setze es in die erste ein und löse nach b auf

-1 + b = 2 → b = 3

Prüfe dann auch noch durch einsetzen in die übrig gebliebene Gleichung

7·(-1) + 2·3 = -1 → passt und daher ist es eine Lösung

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Kommt nicht bei c) für a=1/2 raus?

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Die Gleichungen lauten

2·a + 4·b = 1
2·a + 6·b = 2
4·a + 5·b = 2

II - I

2·b = 1 → b = 1/2

in I einsetzen

2·a + 4·1/2 = 1 --> a = - 1/2

an der III Gleichung prüfen

4·(- 1/2) + 5·1/2 = 2 → falsch und damit keine Lösung!

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Also nicht komplanar.

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Also nicht komplanar.

Genau.

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Vielen vielen Dank. Habs verstanden.