$$ M=\begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & 0 & \frac{\sqrt{3}}{2}\\ 0 & 1 & 0\\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} $$
ist gegeben.
Ich will die Länge der Bilder der Standardbasisvektoren und die Winkel, die von den Standardbasisvektoren und ihren Bildern eingeschlossen sind, bestimmen.
Mein Ansatz:
Ich habe die Bilder der Standardbasisvektoren von den Spalten der Matrix abgelesen.
$$\vec{m}_{1} = \left(\begin{array}{c} -\frac{1}{2} \\ 0 \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{array}\right), \vec{m}_{2} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right), \vec{m}_{3} = \left(\begin{array}{c} \frac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 \\ -\frac{1}{2} \end{array}\right)$$
Die Längen der Vektoren habe ich über die Beträge ausgerechnet. \( \vec{m}_{1}\) und \( \vec{m}_{3} \) haben die Länge \( \frac{1+\sqrt{3}}{2} \)
Die Länge von \( \vec{m}_{2} \) ist 1. Die drei Winkel habe ich berechnet über die Formel $$\alpha = \cos^{-1}(\frac{\vec{a} \circ \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}| })$$
Alle drei Winkel ergaben \( 90^\circ \).
Ich bin mir unsicher, ob ich die Bilder der Standardbasisvektoren einfach so ablesen konnte und ich auch einfach nur die Winkel zwischen diesen Vektoren ausrechnen sollte, wie ich es getan habe (ich bin mit den Begrifflichkeiten in der Aufgabenstellung nicht gut vertraut).
Außerdem würde ich gerne wissen, welchen Buchstaben man für die Notation des Bildes des Standardbasisvektors verwenden soll. Ich hatte mich im Ansatz für "m" entschieden in Anlehnung an die Matrix "M".
Vielen Dank für die Hilfe :)
