Integralrechnung - Streifenmethode Archimedes

Question

Aufgabe:

Grundlegende Frage Integralrechnung

Problem/Ansatz:

Habe mir gerade für den Unterricht die Streifenmethode von Achimedes angesehen und habe leider auch nach einiger Recherche nicht verstanden, was die von ihm erlangte Erkenntnis A = 1/3 jetzt genau bedeutet. Würde mir das einer bitte kompakt und schülerfreundlich in ein paar Sätzen erklären?

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vgl.

http://www.mathelehrer-reinold.de/LKM/02AbbStreifenmethode.pdf

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Hat leider meine Frage immer noch nicht beantwortet. Bei einer Normalparabel und einem Intervall von [0;1] beträgt der Flächeninhalt also 1/3 Längen-Einheiten?

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Bei einer Normalparabel und einem Intervall von [0;1] beträgt der Flächeninhalt also 1/3 Längen-Einheiten?

Dass Flächeninhalte nicht in Längeneinheiten gemessen werden, solltest du als Mathe-Lehrkraft aber schon wissen....

Answer 1

Könntest du mal die Summe der Rechtecksstreifen berechnen. Und zwar sowohl der Streifen die alle unter der Funktion liegen als auch der Streifen, die die Funktion einschließen?

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Was soll das fürs Verständnis helfen?

Ich Frage Mal so: Ist dieses A = 1/3 einfach der Beweis, dass Obersumme und Untersumme beide zu 1/3 im Unendlichen werden (Am Beispiel der Normalparabel) und hat sonst nicht mehr zu heißen?

Was mich dabei aber verwirrt: Rechne ich Beispielsweise die Untersumme des letzten Balkens auf dem Bild oben aus, sollte die Rechnung doch 1x0,8 betragen (Länge Mal breite), zusammen mit den anderen Balken wäre die Gesamtfläche also auf gar keinen Fall 1/3. Wo liegt mein Denkfehler?

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Ich Frage Mal so: Ist dieses A = 1/3 einfach der Beweis, dass Obersumme und Untersumme beide zu 1/3 im Unendlichen werden (Am Beispiel der Normalparabel) und hat sonst nicht mehr zu heißen?

Ja. Die Obersumme ist hier immer größer als 1/3 und die Untersumme ist immer kleiner als 1/3. Als Grenzwert für n gegen unendlich gehen sowohl unter als auch odersumme gegen 1/3.

Was mich dabei aber verwirrt: Rechne ich Beispielsweise die Untersumme des letzten Balkens auf dem Bild oben aus, sollte die Rechnung doch 1x0,8 betragen (Länge Mal breite), zusammen mit den anderen Balken wäre die Gesamtfläche also auf gar keinen Fall 1/3. Wo liegt mein Denkfehler?

naja, eher 0.1 * 0.81 statt 1 * 0.8

Und als Summe mit den anderen zwar < 1/3 aber trotzdem dicht dran. In der Skizze steht ein Wert von 0.29.

Answer 2

Hallo,

vermutlich bist du Mathelehrkraft oder auf dem Weg dorthin.

Wenn du überlegst, wie du den Schüler:innen das Drittel deutlich machen kannst, habe ich folgende Idee.

Nimm ein quadratisches Stück Pappe mit der Seitenlänge 10cm=1dm. Zeichne den Parabelabschnitt von 0 bis 1 auf und schneide die Pappe an der gezeichneten Linie durch. Das größere Pappestück müsste nun doppelt so schwer sein wie das kleinere. Zum Wiegen würde ich eine Digitalwaage nehmen.

:-)

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Danke, werde ich so umsetzen für meine Klasse