Question

Ableitungen von e-Funktion - Funktionsschar:

\( f_{a}(t)=\underbrace{20 a \cdot t}_{v} \cdot \underbrace{e^{-0,5 t}}_{v} \quad \begin{array}{l}u^{\prime}=20 a \\ v^{\prime}=e^{-0,5 t} \cdot(-0,5)\end{array} \)

\( u^{\prime} \cdot v+v \cdot v^{\prime} \)

\( 20 a \cdot e^{-0.5 t}+2 \partial a \cdot t+e^{-0.5 t} \cdot(0,5) \)

Answer 1

Hallo,

im zweiten Teil deiner Ableitung muss es heißen \(20at\cdot(-0,5)e^{-0,5t}\)

\( \begin{aligned} f_{a}(t) &=20 a t \cdot e^{-0,5 t} \\ u &=20 a t \quad v=e^{-0,5 t} \\ u^{\prime} &=20 a \quad v^{\prime}=-0,5 e^{-0,5 t} \\ f_{a}^{\prime}(t) &=20 a \cdot e^{-0,5 t}+20 a t \cdot(-0,5) e^{-0,5 t} \\ &=20 a \cdot e^{-0,5 t} \cdot(1-0,5 t) \end{aligned} \)

Gruß, Silvia

Comments

Wie kommst du auf die eins bei (1-0.5t)?

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Sie hat ausgeklammert.

Das habe auch ich dir empfohlen. :)

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\( \frac{20 a e^{-0,5 t}}{20 a e^{-0,5 t}}=1 \)

\( \frac{20 a t \cdot(-0,5) e^{-0,5 t}}{20 a e^{-0,5 t}}=-0,5 t \)

Ist es jetzt klar?

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Nein leider noch nicht. Warum rechnest du das jetzt im Bruch. Das verwirrt mich jetzt alles irgendwie.

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Stell dir statt des Bruches das Geteilt-Zeichen vor. Wenn du etwas ausklammerst, ist das nichts anderes als Teilen.

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Aber wie kommst du auf die 1 in der letzten Zeile:

\( \begin{aligned} f_{a}(t) &=20 a t \cdot e^{-0,5 t} \\ u &=20 a t \quad v=e^{-0,5 t} \\ u^{\prime} &=20 a \quad v^{\prime}=-0,5 e^{-0,5 t} \\ f_{a}^{\prime}(t) &=20 a \cdot e^{-0,5 t}+20 a t \cdot(-0,5) e^{-6} \\ &=20 a \cdot e^{-0,5 t} \cdot(1-0,5 t) \end{aligned} \)

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\(\begin{aligned}  f_{a}^{\prime}(t) &=\textcolor{green}{20 a \cdot e^{-0,5 t}}+\textcolor{green}{20 a} t \cdot(-0,5) \textcolor{green}{e^{-0,5 t}} \\ &=\textcolor{green}{20 a \cdot e^{-0,5 t}} \cdot(1-0,5 t) \end{aligned}\)

Das ist das Gleiche wie

\(\textcolor{green}a-5\textcolor{green}ab=\textcolor{green}a\cdot(1-5b)\)

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Aber es ist doch nirgendwo eine 1 ?

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a:a = 1 oder 9:9 = 1, 9x:9x = 1, 5ab:5ab = 1

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Danke jetzt habe ich es verstanden.

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Und was ich mein u und was mein v in der zweiten Ableitung?

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\( \underbrace{20 a e^{-0,5 t}}_{=u}\cdot\underbrace{(1-0,5 t)}_{=v} \)

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Habe das als zweite Ableitung?

\( t_{a}^{\prime}(t)=\frac{20 a \cdot e^{-0.5 t}}{\underline{20 a} t} \cdot \underline{(-0.5) e^{-0.5 t}} \)
\( \underbrace{20 a \cdot e^{-0.5 t}}_{v} \cdot \underbrace{(1-0.5 t)}_{v}, \begin{array}{l}v^{\prime}=\text { doae }^{-0.5 t} \cdot(-0.5) \\ v^{\prime}=0.5\end{array} \)
\( \underline{20 a \cdot e^{-0.5 t}} \cdot(0.5) \cdot(1-0.5 t)+20 a \cdot e^{-0.5 t} \cdot(0.5) \)
\( 20 a \cdot e^{-0.5 t} \cdot(0.5) \cdot(1-0.5 t) \)
\( 20 a \cdot e^{-0.5 t} \cdot(0.5-0.25 t) \)

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v' = -0,5 und nicht 0,5

\( \begin{aligned} u &=20 a e^{-0,5 t} \quad v=1-0,5 t \\ u' &=-10 a e^{-0,5 t} \quad v^{\prime}=-0,5 \\ f_{a}^{\prime \prime}(t) &=-10 a e^{-0,5 t} \cdot(1-0,5 t)-10 a e^{-0,5 t} \\ &=-10 a e^{-0,5 t} \cdot(1-0,5 t+1) \\ &=-10 a e^{-0,5 t} \cdot(2-0,5 t) \end{aligned} \)

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Wie kommst du darauf das u was anderes ist?

\( \begin{aligned} u &=20 a e^{-0,5 t} \quad v=1-0,5 t \\ u^{\prime} = -10 a e^{-0,5 t} \quad v^{\prime}=-0,5 \\ f_{a}^{\prime \prime}(t) &=-10 a e^{-0,5 t} \cdot(1-0,5 t) \underbrace{-10 a e^{-0,5 t}}_{u} \\ &=-10 a e^{-0,5 t} \cdot(1-0,5 t+1) \\ &=-10 a e^{-0,5 t} \cdot(2-0,5 t) \end{aligned} \)

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\(-10ae^{-0,5t}\text{  ist entstanden aus}\\ u\cdot v'\\20ae^{-0,5t}\cdot (-0,5)=-10ae^{-0,5t}\)

Ich hatte das nur schon zusammengefasst.

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Ich muss jetzt den Hochpunkt oder Tiefpunkt errechnen und in den Lösungen steht, dass es ein Hochpunkt gibt aber bei mir gibt es einen Tiefpunkt

Text erkannt:

\( f_{a}(t)=0 \)
\( 20 a \cdot e^{-0.5 t} \cdot(1-0.5 t)=0 \)
\( \begin{array}{lc}20 a \cdot e^{-0.5 t}=0 & 1-0.5 t=01+1 \\ h & -0.5 t=11 \cdot(-2) \\ t=-2\end{array} \)
\( f_{a}{ }^{\prime \prime}(t) \neq 0 \)
\( -10 a e^{-0,5 t} \cdot(2-0,5 t) \neq 0 \)
\( -10 a \cdot e^{-0,5 t}=0 \quad 2-0,5 t=0 \quad 1+0.5 t \)
\( l_{y} \quad 2=0.5 t 1 \cdot 2 \)
\( 4=t \)
Tiefpenut

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\(1-0,5t=0\quad |\textcolor{red}{-}1\\ -0,5t=-1\\t=2\)

\(f_a''(2)=-10ae^{-1}\cdot(2-1)=-\frac{10a}{e}\\ -\frac{10a}{e}<0\text{  ,wenn a>0}\\ -\frac{10a}{e}>0\text{  ,wenn a<0}\)

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Habe es erfolgreich geschafft und jetzt gehst es darum die stärkste Abnahme zu berechnen. Habe die dritte Ableitung gebildet.

Text erkannt:

\( f_{a}^{\prime \prime}(1)=\underbrace{-10 a e^{-0.5 t}}_{u} \underbrace{(2-0.5 t)}_{v}) \)
\( u^{\prime}=5 a e^{-0.5 t} \)
\( v^{\prime}=-0.5 \)
\( \quad 5 a e^{-0.5 t} \cdot(2-0.5 t)+\left(-10 a e^{-0.5 t}\right) \cdot(-0.5) \)
\( 5 a e^{-0.5 t} \cdot(2-0.5 t)+\left(5 a e^{-0.5 t}\right) \)
\( 5 a e^{-0.5 t} \cdot(2-0.5 t+1) \)
\( \operatorname{sac}^{-0.5 t}(3-0.5 t) \)

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Sehr gut, deine Ableitung ist richtig!

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Wenn ich jetzt die stärkste Abnahme errechnen möchte ist das der Wendepunkt oder?

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Ja, das ist richtig.

Answer 2

20a*0,5 = 10a

Klammere 10a*e^(-0,5x) aus zur Darstellung des Ergebnisses.

Statt +e^(-0,5x) muss es lauten *e^(-0,5x) !

Comments

Das verstehe ich noch nicht ganz….

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Dein Fehler liegt hier:

Hier war es richtig:

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Danke. Aber ich weiß echt noch immer nicht wie du auf die eins kommst.

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vgl:

a+a*b = 1*a+a*b = a*(1+b)

Answer 3

Ableitung mit der Produktregel

fa(t) = 20·a·t·e^(- 0.5·t)

u(t) = 20·a·t
u'(t) = 20·a

v(t) = e^(- 0.5·t)
v'(t) = - 0.5·e^(- 0.5·t)

fa'(t) = u'(t)·v(t) + u(t)·v'(t)
fa'(t) = 20·a·e^(- 0.5·t) + 20·a·t·(- 0.5)·e^(- 0.5·t)
fa'(t) = 20·a·e^(- 0.5·t)·1 + 20·a·e^(- 0.5·t)·(- 0.5)·t
fa'(t) = 20·a·e^(- 0.5·t)·(1 + (- 0.5)·t)
fa'(t) = 20·a·e^(- 0.5·t)·(1 - 0.5·t)

oder wenn du noch den Faktor 2 in die Klammer ziehst

fa'(t) = 10·2·a·e^(- 0.5·t)·(1 - 0.5·t)
fa'(t) = 10·a·e^(- 0.5·t)·(2 - t)

Natürlich könnte man auch noch 10·a in die Klammer ziehen

fa'(t) = e^(- 0.5·t)·(20·a - 10·a·t)