Ist der Rand die reellen Zahlen oder die ganzen Zahlen?

Question

Aufgabe:

Es sei $M=\mathbb{R}$ mit der Betragsmetrik $d$ gegeben. Bestimmen Sie für die folgenden Teilmengen Häufungspunkte, isolierte Punkte und den Rand und untersuchen Sie, ob die jeweilige Menge offen oder abgeschlossen ist. Skizzieren Sie die Mengen.

Dazu auch meine Lösungen:

$m_{2}=\mathbb{R} \backslash \mathbb{R}$
- Häufungspunkte: $H\left(m_{2}\right)=\mathbb{R}$
- Isolierte Punkte: $\varnothing$
- Innere: $m_{2}^{\circ}=\mathbb{R} \backslash R=m_{2}$
- Abschluss: $m_{2}=m_{2} \cup H\left(m_{2}\right)=\mathbb{R}$
- Rand: $\partial m_{2}=m_{2} \backslash m_{2}^{2}=\mathbb{R} \backslash(\mathbb{R} \backslash R)=\mathbb{R}$
- offen / abgesciossen

Meine Frage richtet sich an den Rand. In den Lösungen hat mein Prof. geschrieben, dass der Rand die ganzen Zahlen sind.

Sind es aber nicht die reellen Zahlen?

Es lautet ja: Der Abschluss ohne das Innere.

Das wären ja dann die reellen Zahlen ohne die reellen Zahlen ohne die ganzen Zahlen. Also in der Lösung die reellen Zahlen oder verstehe ich da was falsch?

Answer 1

Mit Rand$=R\backslash (R\backslash Z)$ hast du ja Recht,

aber das ergibt nicht $R$ sondern $Z$ - "doppelte Komplementbildung".

Comments

Hallo Ermansus,

ich habe gerade im Internet geschaut, aber finde leider nichts zu der Regel.

Könntest du mir kurz erklären was die doppelte Komplementbildung ist und wieso es somit ℤ ergibt?

Liebe Grüße

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Klar:

Unter dem Komplement einer Menge $A$ in einer Obermenge $B$

versteht man die Menge $A^c=B\backslash A$ Bei uns ist

$A=Z$ und $B=R$ die Obermenge. Dann gilt:

$(A^c)^c=A$, da hier eine doppelte Verneinung stattfindet:

$x\in (A^c)^c\iff \lnot x\in (A^c)\iff \lnot (\lnot x \in A)\iff x\in A$

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Dankeschön :)

Answer 2

Hallo Ayleen,

In der Aufgabe geht es um die Teilmenge $M_2$ mit$$M_2 = \mathbb R \backslash \mathbb Z$$also alle Reelen Zahlen ausgenommen die ganzen Zahlen.

In den Lösungen hat mein Prof. Geschrieben das der Rand die ganzen Zahlen sind.

das sehe ich auch so!

Sind es aber nicht die reellen Zahlen?

Keine reelle Zahl der Menge $M_2$ liegt auf dem Rand. Wähle irgendeine beliebige Zahl aus der Menge $M_2$. Du wirst immer in ihrer näheren Umgebung ausschließlich (unendlich viele) Zahlen aus $M_2$ finden können.

Es lautet ja:
Der Abschluss ohne das Innere.

da weiß ich nicht, was Du damit meinst. Der 'Abschluß' wären hier doch die ganzen Zahlen.

Und die Menge $M_2$ ist offen, denn kein Element von $M_2$ liegt auf einem Rand.

Gruß Werner