Bestimmen Sie die ersten beiden Ableitungen der Funktion f.

Question

Aufgabe:

Gegeben die Funktion \( f \) mit \( f(x)=-e^{2 x}+2 e^{x} \).

Die Aufgabenteile a) und b) sollen ohne Einsatz des CAS erfolgen!

a) Bestimmen Sie die ersten beiden Ableitungen der Funktion \( f \).

b) Untersuchen Sie die Funktion \( f \) auf ihren Definitionsbereich, Symmetrie, Verhalten für \( x \rightarrow \pm \infty \), Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen und Extrempunkte.

c) Ermitteln Sie die Gleichung der Wendetangente.

Answer 1

a) f '(x) = -2*e^(2x) +2e^x

f ''(x)= -4*e^(2x)+2e^x

b) f(x) ist auf ganz R definiert. Es gibt keine Einschränkungen.

keine Symmetrie:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+-e%5E%282x%29%2B2e%5Ex

lim f(x) für x gg. +oo = -oo, e^(2x) wächst am schnellsten

lim f(x) für x gg. -oo = 0, e^(-oo) = 1/e^(oo)

f(0) = 1 -> S(0!1)

f(x)= 0

-e^(2x)+2e^x =0

e^x*(-e^x+2)=0

-e^x+2=0

e^x= 2

x= ln2 -> S(ln2/0)

c) t(x) = (x-xW)*f'(xW) + f(xW), xW = Wendestelle

Wendestelle:

f''(x) = 0

...

Answer 2

( e ^term ) ´ =  e ^term * term´

f ( x )  = - e ^(2*x ) + 2 * e ^x

f ´( x ) = - e ^2x * 2  + 2 * e ^x * 1
= - 2 * e ^2x + 2 * e ^x

f ´´( x ) = - 2 * e ^2x * 2  + 2 * e ^x
= - 4 * e ^2x + 2 * e ^x