Bestimmen Sie den Konvergenzradius r der Potenzreihen 2

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie den Konvergenzradius r der Potenzreihen

1)

\( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{2^n*x^n/n^3} \)

2)

\( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{(-1)^n*(x - 2)^n/(n*2^n)} \)

Problem/Ansatz:

Komvergenzradius

\( \lim\limits_{i\to\infty} \) c[i]/c[i + 1]

r=\( \lim\limits_{x\to\infty} \) 2^n*x^n*(n + 1)^3/(n^3*2^(n + 1)*x^(n + 1))

Ich komme bei der Aufgabe irgenwie nicht weiter. Ich bekomme 0 als Grenzwert von Aufgabe 1 raus.

Ist das richtig?

Kann mir jemand helfen?

Der Lösungsansatz für die Aufgabe 2 ist genau so.

Gruß

Jan

Answer 1

Schau dir am besten mal den Satz von Cauchy-Hadamard (https://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzradius#Wurzelkriterium) an, bei der 1) müsste da sowas wie 1/2 rauskommen.

Bei der 2. Reihe hast du ja etwas alternierendes, d.h. es reicht, wenn dein "nicht-alternierender" Teil eine Nullfolge ist. Die Reihe sollte auf K₂(2) konvergieren.

LG

Answer 2

Wenn du dir die Quotienten-Formel oder die Formel von Cauchy-Hadamard auschaust,

solltest du bemerken, dass darin nur die Koeffizienten der Potenzreihen auftauchen.

Wenn du also etwas mit \(x\) bekommst, musst du etwas missverstanden haben.

Zu 1)

Es ist \(|\frac{c_n}{c_{n+1}}|=\frac{2^n}{n^3}:\frac{2^{n+1}}{(n+1)^3}=\frac{(n+1)^3}{2n^3}=\frac {1}{2}(\frac{n+1}{n})^3\rightarrow \frac{1}{2}\) für \(n\rightarrow\infty\).

2) geht entspfechend.