Orthonormalbasis und Polynomkörper

Question

Gegeben:

Vektorraum mit Skalarprodukt: \( \mathbb{R}_{2}[x] \)

\( \left(p_{1}, p_{2}\right) \int \limits_{0}^{1} p_{1}(x) p_{2}(x) d x \)

a) Zeigen Sie, dass folgendes gilt:

\( \left(p_{1}, p_{2}\right) \int \limits_{0}^{1} p_{1}(x) p_{2}(x) d x \)

\( <x^{2}> ^{\perp} = \left\{a x^{2}+b x+c: \frac{a}{5}+\frac{b}{4}+\frac{c}{3}=0\right\} \)

b) Finden sie eine Orthonormalbasis für \( <x^{2}> ^{\perp} \)

Problem/Ansatz:

Wie soll ich a) verstehen und wie soll ich das für b) interpretieren?

kann vielleicht jemand bei a) den Lösungsweg zeigen und erklären wie man die Aufgabenstellung interpretiert und bei b) den Anfang machen wie ich das <x²> als Vektor übersetzen kann. Kenne die Rechnung für die Orthonormalbasis bisher nur mit 3 gegebenen Vektoren im Raum R und weiß nicht, wie ich den Polynomraum da anwende.

Answer 1

<x^2 >^⊥ sind die Polynome, die mit allen Vielfachen von x^2 , also mit so was wie k*x^2 ,

das Skalarprodukt 0 haben.

Wenn p(x)=ax^2 + bx + c so ein Polynom ist gilt

( kx^2 , ax^2 + bx + c )= 0

<=>   \(  \int \limits_{0}^{1} kx^2 \cdot   (ax^2 + bx + c ) d x  = 0  \)

<=>  \( k \cdot \int \limits_{0}^{1} x^2 \cdot   (ax^2 + bx + c ) d x = 0  \)

<=>  \( k \cdot \int \limits_{0}^{1}    (ax^4 + bx^3 + cx^2 ) d x = 0  \)

<=>  \( k \cdot    (a/5  + b/4  + c/3 )  = 0  \)

Für alle k.

Damit kannst du die Mengengleichheit zeigen.

Für b) brauchst du ja erstmal eine Basis für <x^2 >^⊥,
also 2 lin. unabhängige Vektoren (also hier Polynome) aus

dem Raum. Dabei kannst du dich von der Bedingung (a/5  + b/4  + c/3 )  = 0

leiten lassen, und wenn du gleich eins mit der Norm 1 nimmst, könnte das

etwa 2,5x^2 -1,5 sein.  Und das andere etwa 4x-3.

Gemäß der Wikipediabezeichnung

https://de.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmidtsches_Orthogonalisierungsverfahren

wären das jetzt w1 und w2 , wegen Norm=1 also sogar v1 und w2.

Nach der Gram-Schmidt-Formel v2 ' = w2 - <v1,w2> * v1 also

          = 4x-3 - (3/2) * (2,5x^2 - 1,5 ) = -15/4 x^2 + 4x - 3/4

Das noch normieren , ich bekomme || -15/4 x^2 + 4x - 3/4|| = √3 / 6

also v2 = 6/√3 *  (-15/4 x^2 + 4x - 3/4 )