Erklärung zu Äquivalenzklassen

Question

Aufgabe: Gesucht Beispiel K Vektorraum V, einen Unterraum U und zwei verschiedene Elemente v und w in V \ U, so das v +U = w +U

Problem/Ansatz: Die Musterlösung = V = R² und U ein Erzeugendensystem von $$  \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix} $$

v = $$ \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} $$ und w = $$ \begin{pmatrix} 0\\-1 \end{pmatrix} $$ Es gilt v,w Element V \ U und v -w = $$ \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix} $$  Element U, also v + U = w +U

Ich verstehe die Lösung bis auf den Punkt w +U und v + U wieso ist v + U das gleiche wie w +U, v und w sind doch linear unabhänigig ?

Kann mir das bitte schonend erklären ?

Answer 1

v + U = w + U  bedeutet doch:

Wenn man alle Summen betrachtet v + u mit u∈U

und alle w + u mit u∈U, dann gibt das in der Gesamtheit die gleichen

Elemente, allerdings nicht für das gleiche u.

Es gibt also ein u1 ∈U und u2 ∈U mit

               v+u1 = w+u2

Das ist gleichbedeutend mit

         v - w =   u2 - u1

Und weil U ein Vektorraum ist, ist für je

zwei Elemente u1 und u2 deren Differenz auch in U.

Deshalb genügt es für v + U = w + U zu zeigen

v - w ∈U.

Comments

Ok Dankeschön

Answer 2

Da \(U\) eine Untergruppe von \((V,+)\) ist, gilt für \(u\in U\): \(u+U=U\).

Insbesondere gilt: \(v-w\in U\Rightarrow (v-w)+U=U\), also:

\(w+U=w+((v-w)+U)=(w+(v-w))+U=v+U\).