Integral / Partielle Integration

Question

Was mache ich falsch? ich komme nicht auf die richtige Lösung, die wäre sin^2(x)/2 

Ich gehe nach der folgenden Formel vor:

Jetzt drehe ich mich im Kreis, weil ich wieder ein solches Integral drin habe.

Bitte Hilfe

Uli

Comments

Was ist die Aufgabenstellung, und was ist Deine Frage dazu?

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$$ \int \sin x \cos x ~\textrm dx = - \cos^2 x - \int \sin x \cos x ~\textrm dx $$

$$ \implies 2 \int \sin x \cos x ~\textrm dx = - \cos^2 x $$

Stammfunktionen können sich um eine Konstante +c unterscheiden.

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Meine Frage war Integral von sin(x)cos(x)

und als Lösung steht im Lösungsbuch sin^2(x)/2.

Wie komme ich da hin ?

Ich habe es mit der oben eingerahmten Formel probiert, da komme ich aber nicht weiter

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hier mit Weg:

https://www.integralrechner.de/

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Was mache ich falsch?

Im Prinzip nichts.

Allerdings sollten um -sin x und -cos x Klammern gesetzt werden.

:-)

Answer 1

Du hast ja schon den Tipp:

$$ 2 \int \sin x \cos x ~\textrm dx = - \cos^2 x $$

also  $$ \int \sin x \cos x ~\textrm dx =   \frac {- \cos^2 x }{2}$$

Addieren einer Konstanten ändert nichts an der Tatsache, dass

es eine Stammfunktion ist. Also gilt auch $$ \int \sin x \cos x ~\textrm dx =  \frac {- \cos^2 x }{2} + 1 $$

$$ \int \sin x \cos x ~\textrm dx =  \frac {- \cos^2 x }{2} + sin^2 x + cos^2 x = \frac {- \cos^2 x + 2sin^2 x + 2cos^2 x }{2} $$

$$  = \frac { 2sin^2 x + cos^2 x }{2} =  \frac {sin^2 x + cos^2 x}{2} + \frac {sin^2 x }{2} = \frac {1}{2} + \frac {sin^2 x }{2}$$

Also ist deine Musterlösung auch eine mögliche Stammfunktion.

Comments

Ist der Tipp eine Formel zum Ausweniglernen ? ich wusste das nämlich nicht.

Das Ergebnis von sin^2(x)/2 habe ich aus dem Lösungsheft gespickt.

Ich habe nur das Integral sin(x)cos(x)

und soll es lösen und mir fehlt echt jeglicher Weg, wie ich zur Lösung komme

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Du hattest doch selber schon hergeleitet

$$ \int \sin x \cos x ~\textrm dx = - \cos^2 x - \int \sin x \cos x ~\textrm dx $$

Jetzt bringst du einfach das Integral von rechts auf die linke Seite und hast

$$ 2 \int \sin x \cos x ~\textrm dx = - \cos^2 x $$

Dann teils du durch 2 und bist eigentlich fertig; denn das ist eben

auch eine Lösung.

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Danke, jetzt hab ich es kapiert

Viele Grüße

Uli

Answer 2

Hallo,

dieses Integral kannst Du doch ohne part. Integration lösen, falls die Aufgabe das zulässt.

∫ sin(x) cos(x) dx

z=sin(x)

dz/dx= cos(x)

dx= dz/cos(x)

eingesetzt:

=∫ z cos(x) * dz/cos(x)

=∫ z dz= z^2/2 ->Resubstitution

= sin^2(x)/2 +C

Answer 3

Hallo,

beide Funktionen sind Stammfunktionen, also

-0,5cos^2(x) und 0,5sin^2(x), da sie sich nur um einen konstanten Summanden unterscheiden.

Je nachdem, ob du

f'(x)=sin(x) und g(x)=cos(x)

oder

f'(x)=cos(x) und g(x)=sin(x)

ansetzt, erhältst du die eine oder die andere Lösung.

Beide müssen von deiner Lehrkraft als richtig gewertet werden.

:-)