In welchem Punkt hat der Graph von g mit g(x) = \frac{1}{(x - 1)²} die Steigung -2?

Question

Aufgabe:

a) In welchem Punkt hat der Graph von g mit g(x) = \( \frac{1}{(x - 1)²} \) die Steigung -2?

b) Hat der Graph von h mit h(x) = \( \frac{1}{1-x²} \) Punkte mit waagrechter Tangente?

Problem/Ansatz:

Ich habe vom Lösungsbuch die Lösungen, aber sie stimmen nicht mit meinen Lösungen überein und ich verstehe nicht, was ich da korrigieren soll.

a) g´(x) = \( \frac{-2}{(x-1)³} \) = -2; Lösung: x₁ = 2; g(2) = 1; gesuchter Punkt: P(2|1)

b) h´(x) = \( \frac{2x}{(1-x²)²} \) = 0; Lösung: x₁ = 0; Punkt mit waagerechter Tangente T(0|1)

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Meine Lösungen:

a) g´(x) = \( \frac{-2}{(x-1)³} \) = -2        |*(x - 1)³

-2 = -8x³ + 8

- 10 = -8x³                   | /(-8)

0,8 = x³

\( \sqrt[3]{0,8} \) = x

Die Gleichung stimmt bei mir nicht.

b) h(x) = \( \frac{1}{1-x²} \)

v(x) = 1 - x ; v´(x) = -1; u(x) = x^-2  ; u´(x) = -2x^-3

h´(x) = \( \frac{2}{(1-x)³} \)

h´(x) = 0

\( \frac{2}{(1-x)³} \)  = 0            |*(1-x)²

2 = 0

Die Gleichung löst sich folglich nicht mehr.

Answer 1

Deine Ableitung bei a ist richtig. Die Lösung ist x=2, wie man leicht bestätigen kann.

Answer 2

f '(x) = -2(x-1)^(-3)

f '(x) = -2

-2(x-1)^(-3) = -2

(x-1)^(-3) = 1| hoch -1/3

x-1 = 1

x= 2

f(2) = 1

b) f '(x) =0

-2(x-1)^(-3) = 0

(x-1)^(-1/3) = 0

x-1 = 0

x= 1

f(x) hat für x= 1 eine Polstelle -> kein Extremum/Tangente

https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+1%2F%28x-1%29%5E2+

Answer 3

b) Hat der Graph von h mit h(x) = \( \frac{1}{1-x²} \) Punkte mit waagrechter Tangente?

h´(x)=\( \frac{0*(1-x²)-1*(-2x)}{(1-x²)^2} \)=\( \frac{2x}{(1-x^2)^2} \)

\( \frac{2x}{(1-x^2)^2} \)=0   mit  (1-x^2)^2 ≠ 0

2x=0

x=0  →  h(0) = \( \frac{1}{1} \)=1