Wie verhalten sich die Flächeninhalte der Dreiecke HIG und FCI zueinander?

Question

Aufgabe:

Zusätzlich zum Quadrat \( A B C D \) sin die beiden gleichseitigen Dreieck \( E F G \) und \( F C H \) eingezeichnet.

Wie verhalten sich die Flächeninhalte der Dreiecke \( H I G \) und \( F C I \) zueinander?

Answer 1

Hallo,

Beide Dreiecke sind ähnlich.

Begründung:

Dazu untersuche ich die Winkel der zu betrachtenden Dreiecke.

Die Winkel beim Punkt I sind gleich. Außerdem hat jedes der beiden Dreiecke einen 60°-Winkel. Damit sind die dritten Winkel auch gleich und die Dreiecke ähnlich.

Die Flächeninhalte verhalten sich wie die Quadrate der längsten Seiten. Mit dem Sinussatz kannst du die jeweils längsten Seiten bestimmen.

Die längsten Seiten sind CF und GH.

Dann ist CF=FH.

Im Dreieck FGH gilt

GH/sin45° = FH/sin60°

GH/FH=GH/CF=sin45°/sin60°=√2/√3

Die Flächeninhalte verhalten sich also wie 2:3.

:-)

Answer 2

Da ein Flächenverhältnis gefragt ist, kann man ein Einheitsquadrat ABCD wählen. Führe dann diese Bezeichnungen ein:

Die Größen a, b, c und d können mit Hilfe der Gleichheit von Seitenlängen bestimmt werden. es gilt:

a=3-\( \frac{4√3}{3} \);  b=3-\( \frac{5√3}{3} \);  c=3-√3;   d=2-√3.

Die fraglichen Dreiecke sind ähnlich. Ihr Flächenverhältnis ist das Verhältnis der Quadrate der längsten Seiten.

Comments

Listen and repeat:

Ich:

Beide Dreiecke sind ähnlich. Die Flächeninhalte verhalten sich wie die Quadrate der längsten Seiten.

Du:

Die fraglichen Dreiecke sind ähnlich. Ihr Flächenverhältnis ist das Verhältnis der Quadrate der längsten Seiten.

;-)

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@Monty: Hast du auch den Rest gelesen? Wenn du nachrechnest, stellst du etwas zu deiner Antwort fest, was dich überraschen wird.

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@Monty & Roland: es sollen die beiden Dreiecke \(\triangle HIG\) und \( \triangle FCI\) verglichen werden. Also das lilane und das grünliche oben in der Frage.

Bitte vorher nochmal in diesem Beitrag die Kommentare durchlesen ...

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@Werner: Genau diese beiden Dreiecke (HIG und FCI) hatte ich mit "Die fraglichen Dreiecke" gemeint. Was also willst du mir sagen?

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@Roland: ich hatte angenommen, ihr meint die gleichseitigen Dreiecke \(\triangle EFG\) und \(\triangle HFC\) in Deiner Zeichnung.

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Jetzt ist alles geklärt - ich hoffe auch deinerseits.

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@R : MPs Antwort ist weitaus besser ^*), weil man nämlich überhaupt keine Seitenlängen auszurechnen braucht sondern alles über Winkelgrößen geht.

^*) genauer : sie wäre weitaus besser, wenn er sich nicht verrechnet hätte. Tipp : Es ist einfacher über die kürzesten statt über die längsten der fraglichen Dreiecksseiten zu gehen.

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@Roland:

Dein Rechenweg scheint schon anders zu sein. Ich habe mich nur darüber amüsiert, dass die beiden zitierten Sätze sehr ähnlich sind.

@Werner:

es sollen die beiden Dreiecke \(\triangle HIG\) und \( \triangle FCI\) verglichen werden

Genau das habe ich gemacht.

@2166

sie wäre weitaus besser, wenn er sich nicht verrechnet hätte.

Hmmm, dann muss ich noch einmal nachrechnen.

:-)

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Hmmm, dann muss ich noch einmal nachrechnen.

Das Ergebnis ist identisch mit dem Seitenformat von Papierabzügen alter analoger Fotos ;-)

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Das Ergebnis ist identisch mit dem Seitenformat von Papierabzügen alter analoger Fotos ;-)

Stimmt, 10x15.

9x13 passt aber nicht so gut.

:-)