Zeigen Sie, dass Z und K das gleiche Volumen haben.

Question

Aufgabe:

Das Prinzip besagt:

Wenn jede zu einer gegebenen Ebene E parallele Ebene E' die Körper K₁ und K₂ in Flächen gleichen Inhalts schneidet, dann haben diese Körper das gleiche Volumen.

In einem ebenen kartesischen x-z-Koordinatensystem betrachten wir die Fläche F, die aus denjenigen Punkten P(x,y) besteht, deren Koordinaten x und y die Ungleichungen 0 ≤ x ≤ 1 und 0 ≤ y ≤ x² erfüllen. Im Raum betrachten wir weiterhin den allgemeinen Zylinder Z mit Höhe 1 und Grundfläche F, der entsteht, wenn man F um 1 senkrecht zur x-y-Ebene verschiebt. Außerdem ist eine gerade Pyramide K der Höhe 1 gegeben, deren Grundfläche ein Quadrat der Seitenlänge 1 ist.

a) Zeigen Sie, dass Z und K das gleiche Volumen haben.

b) Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche F.

Hinweis: Ein Nachweis der Volumengleichheit der oben beschriebenen Körper ist hier möglich, wenn man ein geeignete Lage der Körper im Raum und eine Ebene E findet, um das Cavalieri'sche Prinzip anzuwenden.

Wir verwenden in dieser Aufgabe einen erweiterten Begriff des Zylinders, bei dem die Grundfläche eine beliebige Fläche sein kann (Zylinder in diesem Sinn sind also nicht nur Kreiszylinder, sondern zum Beispiel auch Dreiecksprismen). Begriffe wie Grundfläche G, Deckfläche D und Höhe h als Abstand zwischen Grund- und Decksfläche werden sinngemäß verwendet. Es gilt auch hier die bekannte Volumenformel V = G * h.

Comments

Das war nur ein Test

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Nur ein Test?

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https://www.mathematik-olympiaden.de/aufgaben/61/1/A61101.pdf

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Der Test sollte prüfen, ob das Bild erscheint

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Sehr schöne Animation !!!

Answer 1

"x-z-Koordinatensystem"
soll wohl x-y-Koordinatensystem heißen.

Die Pyramide würde ich so anordnen, dass ihre Spitze im Ursprung liegt

und ihre "Bodenfläche" in der Ebene x=1.

Die Ebene E:x=a schneidet nun für 0<=a<=1

die rechteckige Fläche $a^2\cdot 1$ aus $Z$ und die

quadratische Fläche $a\cdot a$ aus $K$ aus.

Diese Flächen sind gleich.

Nach Cavalieri sind also die Volumina von $K$ und $Z$ gleich.

Das Volumen der Pyramide ist $(1\cdot 1\cdot 1) / 3=1/3$.

Damit ergibt sich für die Grundfläche $F$ des verallgemeinerten "Zylinders"

der Höhe 1 der Flächeninhalt $1/3$.