Funktionsschar abstand vom Wendepunkt zum Hochpunkt bestimmen

Question

Aufgabe:

Gegeben ist eine Funktionsschar: f(x)= -1/3x^3 + tx^2- (t^2)*x + x

Nun soll man zeigen, dass die Wendetangenten zueinander parallel sind und, dass der Abstand des Hochpunkts vom Wendepunkt bei allen Schaubildern gleich ist.
Problem/Ansatz:

Das alle Wendetangenten parallel sind hab ich schon mithilfe der dritten Ableitung gezeigt (unabhängig von t)

Allerdings weiß ich nicht, wie ich den Hochpunkt bestimmen soll, um den Abstand zu berechnen

Für den Wendepunkt hab ich (t | -1/3t^3 + t)

Wäre dankbar für jegliche Hilfe / Ansätze

Comments

hab die Frage bearbeitet: Es sollte (t^2)*x und nicht t^2x sein

Answer 1

Der Wendepunkt einer Polynomfunktion dritten Grades, die Extrema hat, liegt immer in der Mitte zwischen den Extrempunkten.

Wendepunkt ist bei dir richtig. Ein Extremum (t+1|-\( \frac{t^3-3t+2}{3} \). Abstand \( \frac{√13}{3} \).

Comments

Lösung wurde ergänzt.

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Hier der Rechenweg zu den Extremstellen:

\(f'(x)=0\\-x^2+2tx-t^2+1=0\\x^2-2tx+t^2-1=0\\ x_{1,2}=t\pm\sqrt{t^2-t^2+1}\\ x_{1,2}=t\pm1\\ \text{Hochpunkt bei }x=t+1\)

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danke euch beiden, hab net daran gedacht die PQ-Formel zu benutzen, aber jetzt ist es mir klar