Bestimme die Lösungen von den gegebenen Bedingungen.

Question

Aufgabe:

Bestimme alle Tripel (x,y,z) positiver ganzer Zahlen, für die gilt:

x | (y+1) , y | (z+1) , z | (x+1)

Problem/Ansatz:

Bestimme die Lösungen von den gegebenen Bedingungen.

Comments

x | (y+1) , y | (z+1) , z | (x+1) sind drei Terme, über die keine Aussage gemacht wird. Folglich sind es keine Bedingungen. Schreibe die Aufgabe wörtlich ab.

---

Das sind Aussagen: "a|b" bedeutet: "a teilt b".

---

Jetzt ist alles klar.

Answer 1

Es muss natürliche Zahlen a, b und c geben, sodass

ax=y+1

by=z+1

cz=x+1

Dies System hat für (x,y,z) das Lösungstripel (\( \frac{bc+c+1}{abc-1} \); \( \frac{ac+a+1}{abc-1} \); \( \frac{ab+b+1}{abc-1} \)).

Insbesondere für abc=2 (natürliche Zahlen a, b und c) besteht dies Lösungstripel aus natürlichen Zahlen. Weitere Möglichkeiten für a, b und c sind vermutlich möglich.

Comments

Als Ergänzung zu Rolands schöner Lösung:

\((x,y,z)=(3,5,4)\) und die zyklischen Vertauschungen

\((5,4,3)\) und \((4,3,5)\) sind die einzigen Lösungen

Answer 2

Meine Lösungen:

x = 1, y = 1, z = 1

x = 1, y = 1, z = 2

x = 1, y = 2, z = 1

x = 1, y = 3, z = 2

x = 2, y = 1, z = 1

x = 2, y = 1, z = 3

x = 3, y = 2, z = 1

x = 3, y = 5, z = 4

x = 4, y = 3, z = 5

x = 5, y = 4, z = 3

Comments

Ah! Sehe, dass ich die "trivialen" 1-Teiler vergessen habe :-(

---

Vielen vielen Dank für die genaue Angaben der Lösungen!