Zeigen Sie für alle n ∈ N die Gleichheit

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie für alle n ∈ N die Gleichheit

\( \sum\limits_{k=1}^{n}{1/(k(k+1))} \)  = \1-1/(n+1)

indem Sie den Ausdruck \( \frac{1}{k(k+1)} \)  in die Form \( \frac{A}{k} \) + \( \frac{B}{k+1} \) zerlegen und mittels Indextransformation die Identität direkt nachweisen.

Problem/Ansatz:

\( \frac{1}{k} \) + \( \frac{-1}{k+1} \)

So weit bin ich gekommen... Aber jetzt bin ich ratlos. Tipps?

Comments

Vielleicht solltest du zunächst die Aufgabe richtig wiedergeben.

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Ist sie ? :(

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Ich sehe keine "Gleichheit"!

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Ach sorry du hast Recht!

Answer 1

$$  \sum_{k=1}^n \frac{ 1 } { k(k+1) } = \sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) = 1 + \sum_{k=2}^n \frac{1}{k} - \sum_{k=2}^{n+1} \frac{1}{k} = 1 - \frac{1}{n+1}$$

Comments

Kannst du deine Schritte erklären? Ich komme da nicht mit

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Bei welchem Schritt hakt es?

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Wieso hast du die Summen auseinander gezogen und wo kommt die 1 her?

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Ich habe die erste Summen zerlegt in den Term, der mit \( k = 1 \) beginnt, aslo \( 1 \), und den Rest und die zweite Summe fängt ja mit \( \frac{1}{2} \) an, deshalb habe ich mit \( k= 2 \) die Summierung begonnen und dafür aber \( \frac{1}{k} \) eingesetzt.

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Ich habe es gerafft :D Danke! Aber wie soll ich darauf kommen...

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Ja danke bin bei längerem Betrachten von selbst drauf gekommen! Aber ohne deine Lösung wäre ich nicht drauf gekommen!!

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Übung macht den Meister