Gleichungsystem, X-Werte bestimmen

Question

Hallo, ich muss die positiven reellen Zahlen

x1, x2, x3 bestimmen, für die gilt

Gleichungssystem:

x₁x²₂x³₃=2

x²₁x³₂x⁴₃=4

x²₁x₂x₃=2

Also Tipp habe ich: log(ab)=log(a)+log(b) für

a,b ∈ ℝ_>0

Kann mir bitte jemand helfen?

Answer 1

Aloha :)

Wir haben folgende Informationen:$$x_1x_2^2x_3^3=2\;\;(\text{Gl. 1})\quad;\quad x_1^2x_2^3x_3^4=4\;\;(\text{Gl. 2})\quad;\quad x_1^2x_2x_3=2\;\;(\text{Gl. 3})$$

Wir dividieren Gleichung 2 durch Gleichung 3:$$\frac{x_1^2x_2^3x_3^4}{x_1^2x_2x_3}=\frac42\implies x_2^2x_3^3=2\;\;(\text{Gl. 4})$$Damit vereinfachen wir Gleichung 1:$$x_1x_2^2x_3^3=2\implies x_1\cdot2=2\implies x_1=1$$

Das Ergebnis für \(x_1\) setzen wir in Gleichung 3 ein:$$2=x_1^2x_2x_3=1^2\cdot x_2x_3\implies x_2x_3=2\;\;(\text{Gl. 5})$$

Wir dividieren Gleichung 4 durch das Quadrat von Gleichung 5 und finden:$$\frac{x_2^2x_3^3}{(x_2x_3)^2}=\frac{2}{2^2}\implies\frac{x_2^2x_3^3}{x_2^2x_3^2}=\frac12\implies x_3=\frac12$$Wegen Gleichung 5 ist nun auch \(x_2\) klar:$$2=x_2x_3=x_2\cdot\frac12\implies x_2=4$$

Wir fassen zusammen:$$x_1=1\quad;\quad x_2=4\quad;\quad x_3=\frac12$$

Comments

Ich glaube, Sie haben einen Fehler. Bei der dritten Gleichung muss für "...=2" stehen, nicht "...=3". Also in der Aufgabe steht 2.

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Und können Sie mir bitte erkläen, wieso x³₂ ÷ x₂ = x²_{2 gilt?}

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Sorry, ich hatte mich verlesen, habe es nun korrigiert.

Zu deiner Nachfrage:$$\frac{x_2^3}{x_2}=\frac{x_2^2\cdot \cancel{x_2}}{\cancel{x_2}}=x_2^2$$

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Oh achsoo, okay jetzt habe ich es. Vielen vielen Dank!

Answer 2

Als erstes teilst du die zweite Gleichung durch die dritte , erhältst dann bei der zweiten y^2*z^3=2

Dann teilst du die erste Gleichung mit der neuen gerechneten Gleichung und erhältst schon mal x=1.

Dann setzt du überall bei den originalen Gleichungen x=1 ein. Dann erhältst du bei der dritten

yz=2 und stellst das nach z um, da kommt z=2/y raus. Das setzt du dann in die erste Gleichung, wo auch x=1 eingesetzt worden ist. Dann hast du 4/z^2 * z^3 = 4z=2 und daraus folgt, dass z=0,5 ist.

Zum Schluss setzt du in die dritte originale Gleichung wieder x=1 und z=0,5 ein und bekommst

0,5y=2 , also ist y=4

x=1 y=4 und z=0,5

x ist x1, y ist x2 und z ist x3 , habe ich so geschrieben, weil es eigentlich egal ist.

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Vielen vielen Dank!