Zeigen Sie, dass die Systeme (v1, v2), (v1, v3) und (v2, v3) linear unabhängig sind.

Question

Sei (v1, v2, v3) ein System in R³ gegeben durch die folgenden drei Vektoren

$$ v_1 = \left( \begin{array} { r } { 1 } \\ { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right), \quad v_2 = \left( \begin{array} { r } { 4 } \\ { 1 } \\ { 4 } \end{array} \right), \quad v_3 = \left( \begin{array} { r } { 2 } \\ { -1 } \\ { 4 } \end{array} \right) $$

1. Zeigen Sie, dass die Systeme (v1, v2), (v1, v3) und (v2, v3) linear unabhängig sind.

2. Ist das System (v1, v2, v3) linear unabhängig?

Answer 1

Die Systeme (v1, v2), (v1, v3) und (v2, v3) sind linear unabhängig, weil kein Vektor ein vielfaches eines anderen ist.

Damit das System (v1, v2, v3) linear unabhängig ist. muss das Spatprodukt ungleich Null sein.

[1, 1, 0] ⨯ [4, 1, 4] ⋅ [2, -1, 4] = [4, -4, -3] ⋅ [2, -1, 4] = 0

Damit ist das System (v1, v2, v3) linear abhängig. Alternativ zum Spatprodukt kann man auch die Determinante einer aus diesen Vektoren bestehenden Matrix berechnen. Oder man zeigt es über ein lineares Gleichungssystem mit 3 Unbekannten.

Comments

1.  Wie wird gezeigt, "weil kein Vektor ein vielfaches eines anderen ist."

 v1 ≠ a * v2 , ∀a ∈ℝ  und v1 ≠ a * v3 , ∀a ∈ℝ und v2 ≠ a * v3 , ∀a ∈ℝ ?

 

2.  Währe der Gaußalgorithmus auch eine mögliche Alternative, wenn dann keine Nullzeile entsteht folgt Lin. Un.? Determinanten sind uns noch "unbekannt".

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Ja. Du kannst schreiben

v1 ≠ a * v2 , ∀a ∈ℝ  und v1 ≠ a * v3 , ∀a ∈ℝ und v2 ≠ a * v3 , ∀a ∈ℝ ?

Gaußverfahren geht bei Aufgabe 2 auch. Ich mache hier mal den ersten Schritt:

[1, 1, 0]
[4, 1, 4]
[2, -1, 4]

4*I - II
2*I - III

[1, 1, 0]
[0, 3, -4]
[0, 3, -4]

Nun sieht man schon das Vektor 2 und 3 linear abhängig sind.