Reihen - Grenzwert berechnen

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie den Grenzwert der Reihe: \( \sum\limits_{k=3}^{\infty}{(\frac{1}{3}}) \)^k

Problem/Ansatz:

Ich würde vermuten, dass man hier die Geometrische Reihe anwendet, also  \( \frac{1}{1-q} \) = \( \frac{1}{1-\frac{1}{3}} \) = \( \frac{1}{\frac{2}{3}} \). Doch wie gehe ich mit der Indexverschiebung der Summe k=3 um? Ist folgender Weg korrekt:

\( \sum\limits_{k=3}^{\infty}{(\frac{1}{3}}) \)^k = \( \frac{1}{1-\frac{1}{3}} \) - 1 - \( \frac{1}{3} \) - (\( \frac{1}{3} \))² = \( \frac{1}{18} \)  

Answer 1

Weil

\( \sum \limits_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{k}=\frac{1}{2} \)

ist

\( \sum \limits_{k=3}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{k}=\frac{1}{18} \)

Der Unterschied ist ein Faktor von \( \left(\frac{1}{3}\right)^{2} \)

Comments

... bzw das Fehlen der Summanden 1, 1/3 und 1/9. Also war dein Weg auch korrekt.

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Mein Satz zum Unterschied war doof.

Der Unterschied ist \( \frac{1}{3} \) + \( \left(\frac{1}{3}\right)^2 \)

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Das mit dem Faktor kannst du schon machen. Er müsste aber (bezogen auf den üblichen Anfang k=0)

\( (\frac{1}{3})^3 \)

sein.

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Vielen Dank!