Reihen - Grenzwert berechnen

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie den Grenzwert der Reihe: $\sum\limits_{k=3}^{\infty}{(\frac{1}{3}})$^k

Problem/Ansatz:

Ich würde vermuten, dass man hier die Geometrische Reihe anwendet, also  $\frac{1}{1-q}$ = $\frac{1}{1-\frac{1}{3}}$ = $\frac{1}{\frac{2}{3}}$. Doch wie gehe ich mit der Indexverschiebung der Summe k=3 um? Ist folgender Weg korrekt:

$\sum\limits_{k=3}^{\infty}{(\frac{1}{3}})$^k = $\frac{1}{1-\frac{1}{3}}$ - 1 - $\frac{1}{3}$ - ($\frac{1}{3}$)² = $\frac{1}{18}$  

Answer 1

Weil

$\sum \limits_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{k}=\frac{1}{2}$

ist

$\sum \limits_{k=3}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{k}=\frac{1}{18}$

Der Unterschied ist ein Faktor von $\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$

Comments

... bzw das Fehlen der Summanden 1, 1/3 und 1/9. Also war dein Weg auch korrekt.

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Mein Satz zum Unterschied war doof.

Der Unterschied ist $\frac{1}{3}$ + $\left(\frac{1}{3}\right)^2$

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Das mit dem Faktor kannst du schon machen. Er müsste aber (bezogen auf den üblichen Anfang k=0)

$(\frac{1}{3})^3$

sein.

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Vielen Dank!