Zwei Vektoren x und y sind genau dann linear abhängig, wenn es Skalare a1,a2 gibt, die nicht beide 0 sind und für die a1*x und a2*y = 0 gilt.
Das und ist wohl ein +
a1*x + a2*y = 0
Da einer der Skalare nicht 0 ist (sagen wir mal a1)
hat man x = -a2/a1 * y
oder kurz: Es gibt einen Skalar c mit
x = c*y ==> (x1, . . . , xn)t = c *(y1, . . . , yn)t = (c*y1, . . . , c*yn)t
Wenn du jetzt 2 Indizes i und j rauspickst, ist die Matrix
$$ \begin{pmatrix} x_i & y_i \\ x_j & y_j \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_i & c*x_i \\ x_j & c*x_j \end{pmatrix} $$
Also die Determinate $$ x_i*c*x_j - c*x_i * x_j =0 $$
Umgekehrt, wenn alle diese Determinanten 0 sind kann man wohl so argumentieren:
Da x nicht der Nullvektor ist, gibt es jedenfalls eine
Komponente ( sagen wir mal x1 ) die nicht 0 ist.
Betrachte nun zwei Indizes i, j ( beide nicht 1 ) und die
Determinanten $$ \begin{pmatrix} x_1 & y_1 \\ x_j & y_j \end{pmatrix} und \begin{pmatrix} x_1 & y_1 \\ x_i & y_i \end{pmatrix} $$
Beide sind 0 , also gilt \( x_1*y_j = y_1 * x_j \) und \( x_1*y_i = y_1 * x_i \)
Da x1 nicht 0 ist :
==> \( y_j = \frac {y_1}{x_1}*x_j \) und \( y_i = \frac {y_1}{x_1}*x_i \)
Weil das für alle i,j gilt ist also \( c = \frac {y_1}{x_1} \) ein Faktor c,
für den gilt y = c*x , also sind x und y lin. abhängig .
