Diskreter Wahrscheinlichkeitsraum - P(A^c)=1-P(A)

Question

Aufgabe:

Sei (Ω, p) ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum. Zeigen Sie, dass für das

zugehörige P und für alle A ⊆ Ω gilt:
P(A^c) = 1 − P(A),

Problem/Ansatz:

also P(A^c) ist ja P(Ω/A).... aber wie gehe ich weiter vor - wie argumentiere ich?

Answer 1

P(A^c) = 1 − P(A),

Weil \(A\) und \(A^\complement\) disjunkt sind, ist

        \(P(A) + P\left(A^\complement\right) = P\left(A\cup A^\complement\right)\)

laut einem der Axiome von Kolmogorow.

Außerdem ist

        \(A\cup A^\complement = \Omega\)

aufgrund der Definition von \(\square^\complement\).

Laut einem anderen der Axiome von Kolmogorow ist

        \(P(\Omega) = 1\).

also P(A^c) ist ja P(Ω/A)

Das heißt P(Ω\A), nicht P(Ω/A).