Aloha :)
Willkommen in der Mathelounge... \o/
Ich würde mir ganz zu Anfang die Funktion etwas vereinfachen:$$f(x)=\frac{x^2+4x-21}{x^2-4}=\frac{x^2-4+4x-17}{x^2-4}=\frac{x^2-4}{x^2-4}+\frac{4x-17}{x^2-4}=1+\frac{4x-17}{x^2-4}$$
Die Kandidaten für Extremstellen findest du dort, wo die erste Ableitung verschwindet:$$f'(x)=\left(\frac{\overbrace{4x-17}^{=u}}{\underbrace{x^2-4}_{=v}}\right)'=\frac{\overbrace{4}^{=u'}\overbrace{(x^2-4)}^{=v}-\overbrace{(4x-17)}^{=u}\overbrace{2x}^{=v'}}{\underbrace{(x^2-4)^2}_{=v^2}}=\frac{-4x^2+34x-16}{(x^2-4)^2}$$Der Bruch wird \(0\), wenn der Zähler \(0\) wird, also:$$0\stackrel!=-4x^2+34x-16=-2(2x^2-17x+8)=-2(x-8)(2x-1)$$Wir haben also zwei Kandidaten für Exttemstellen gefunden$$x_1=8\quad;\quad x_2=\frac12$$
Mit Hilfe der zweiten Ableitung prüfen wir die Art der Extrema:
$$f''(x)=\frac{(-8x+34)(x^2-4)^2-(-4x^2+34x-16)2(x^2-4)2x}{(x^2-4)^4}$$$$\phantom{f''(x)}=\frac{2(4x^3-51x^2+48x-68)}{(x^2-4)^3}$$Wir finden:$$f''(8)=-\frac{1}{120}<0\implies\text{Maximum bei }x=8$$$$f''\left(\frac12\right)=\frac{32}{15}>0\implies\text{Minimum bei }x=\frac12$$