Eindimensionales Differenzieren Kurvendiskussion

Question

Hallo, weiß jemand, wie ich bei dieser Funktion die Extrempunkte ohne Taschenrechner ermitteln kann?

 

f(x)  =  \( \frac{x² + 4x - 21}{x² - 4} \)

G= ℝ

Danke!

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Ich würde mir ganz zu Anfang die Funktion etwas vereinfachen:$$f(x)=\frac{x^2+4x-21}{x^2-4}=\frac{x^2-4+4x-17}{x^2-4}=\frac{x^2-4}{x^2-4}+\frac{4x-17}{x^2-4}=1+\frac{4x-17}{x^2-4}$$

Die Kandidaten für Extremstellen findest du dort, wo die erste Ableitung verschwindet:$$f'(x)=\left(\frac{\overbrace{4x-17}^{=u}}{\underbrace{x^2-4}_{=v}}\right)'=\frac{\overbrace{4}^{=u'}\overbrace{(x^2-4)}^{=v}-\overbrace{(4x-17)}^{=u}\overbrace{2x}^{=v'}}{\underbrace{(x^2-4)^2}_{=v^2}}=\frac{-4x^2+34x-16}{(x^2-4)^2}$$Der Bruch wird \(0\), wenn der Zähler \(0\) wird, also:$$0\stackrel!=-4x^2+34x-16=-2(2x^2-17x+8)=-2(x-8)(2x-1)$$Wir haben also zwei Kandidaten für Exttemstellen gefunden$$x_1=8\quad;\quad x_2=\frac12$$

Mit Hilfe der zweiten Ableitung prüfen wir die Art der Extrema:

$$f''(x)=\frac{(-8x+34)(x^2-4)^2-(-4x^2+34x-16)2(x^2-4)2x}{(x^2-4)^4}$$$$\phantom{f''(x)}=\frac{2(4x^3-51x^2+48x-68)}{(x^2-4)^3}$$Wir finden:$$f''(8)=-\frac{1}{120}<0\implies\text{Maximum bei }x=8$$$$f''\left(\frac12\right)=\frac{32}{15}>0\implies\text{Minimum bei }x=\frac12$$

Comments

Jetzt sieht das ganze einfach aus :)

Vielen Dank.

Answer 2

Ableiten (mit der Quotientenregel) und Ableitung gleich null setzen.... das geht mit Papier und Schreibstift, ohne Strom.

Answer 3

Hallo,

Willkommen in der Mathelounge!

... wie ich bei dieser Funktion die Extrempunkte ohne Taschenrechner ermitteln kann?

Ja - ohne TR ist das kein Problem. Bei 'mit Taschenrechner' wüsste ich nicht, was man damit soll ;-). Leite die Funktion ab und setze die Ableitung zu 0. Ableiten nach der Quotientenregel$$\begin{aligned}f(x) &= \frac{x^2+4x-21}{x^2-4}\\f'(x) &= \frac{(2x+4)(x^2-4) - (x^2+4x-21)(2x)}{(x^2-4)^2} \\&= \frac{2x^3 + 4x^2 - 8x - 16 - (2x^3+8x^2-42x)}{(x^2-4)^2} \\ &= \frac{-4x^2 +34x -16}{(x^2-4)^2}\end{aligned}$$Nun reicht es die Nullstellen des Zählers zu berechnen. Nach der bekannten Mitternachtsformel$$\begin{aligned}x_{1,2} &= \frac{-34 \pm \sqrt{34^2 - 4\cdot(-4)\cdot (-16)}}{2\cdot (-4)} \\&=\frac{-34 \pm \sqrt{34^2 - 16^2}}{2\cdot (-4)} \\ &= \frac{17 \mp \sqrt{17^2 - 8^2}}{4} \\ &= \frac{17 \mp \sqrt{289 - 64}}{4} \\ &= \frac{17 \mp \sqrt{225}}{4} \\ &= \frac{17 \mp 15}{4} \end{aligned}$$Bei so großen Zahlen wie \(34^2\) kannst Du immer versuchen, sie z.B. durch Kürzen oder Ausklammern zu verkleinern. Dann schafft man es auch ohne TR.

Also liegen die Nullstellen und damit die Extrempunkte bei \(x_1=\frac 12\) und \(x_2=\). Streng genommen müsste man nun auch noch die 2.Ableitung prüfen, aber ein Blick auf den Graphen reicht auch:

~plot~ (x^2+4x-21)/(x^2-4);[[-2.5|10|-5|8]];x=1/2;x=8 ~plot~

Gruß Werner

Comments

Vielen Dank für die Hilfe.