DGL 1. Ordnung - letzter Schritt, Problem - Hilfe

Question

Aufgabe:

DGL erster Ordnung

Problem/Ansatz:

Habe die DGL fast gelöst komme am Ende nicht drauf wie ich meine EXP-Fkt. richtig auf den rechten Term anwende:

ln(y) = -\( \frac{ln(x^2+2)}{2} \) +C

Was kommt beim Rechten Term raus wenn ich die exp-Fnkt. verwende?

Laut Lösung muss folgendes rauskommen: y = \( \frac{e^c}{\sqrt{x^2+2}} \)

Danke

Comments

Wie lautet die DGL?

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xy+(x^2+2)*y'=0

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Ist in der Aufgabe gefordert, dass \(y>0\) sein soll?

Answer 1

e hoch linke Seite = e hoch rechte Seite

Hinweis: e^a+b = e^a·e^b.

Answer 2

Multipliziere die Gleichung mit 2 und nutze

\(2\cdot \ln(y)=\ln(y^2)\)

Ergänzung aus meinen Kommentaren:

Dann steht da nach dem exponenzieren:

\(y^2=\frac {e^{2C}}{x^2+2}\Rightarrow y=\pm\frac{e^C}{\sqrt{x^2+2}}\)

Wenn man sich die Differenzialgleichung anschaut, sieht man,

dass auch die konstante Fkt. \(y=0\) eine Lösung ist,

insgesamt ist also die Lösungsschar: \(y=c\cdot \frac{1}{\sqrt{x^2+2}}\) mit \(c\in \mathbb{R}\).

Comments

aber dann habe ich doch rechts ein 2*C stehen. Komme ich doch wieder nicht weiter

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Ignoriere den Hinweis.

Kennst da auch das Logarihmegesetz r* ln a = ln a^r ?

Wende es auf r=\( -\frac{1}{2} \) an.

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Dann steht da:

\(y^2=\frac {e^{2C}}{x^2+2}\Rightarrow y=\pm\frac{e^C}{\sqrt{x^2+2}}\)

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Wenn man sich die Differenzialgleichung anschaut, sieht man, dass

auch die konstante Fkt. \(y=0\) eine Lösung ist, insgesammt ist also

die Lösungsschar: \(y=c\cdot \frac{1}{\sqrt{x^2+2}}\) mit \(c\in \mathbb{R}\).

Answer 3

Wenn du auf beiden Seiten e hoch machst, bekommst du

y=e^(-ln(x^2+2)/2)*e^C

=1/e^(ln(x^2+2)/2)*e^C

=e^C/(e^ln(x^2+2))^1/2

=e^C/(x^2+2)^1/2

=e^C/Wurzel(x^2+2)

Somit hättest du die Lösung

y=c/Wurzel(x^2+2) y2=-c/Wurzel(x^2+2)

wobei c>0, da e^C>0 für alle C aus IR

Comments

Das ist nur die "Hälfte" der Lösungen der DGL.