Mengen, Abbildung, Beweise

Question

Seien X, Y zwei Mengen und f : X → Y eine Abbildung. Zeigen Sie, dass
(a) A⊂f^-1 (f(A)) für alle A⊂X und

(b) f(f^-1 (B)) ⊂ B für alle B ⊂ Y

gilt. Geben Sie jeweils ein Beispiel für A beziehungsweise B, für die diese Beziehung eine echte Inklusion
ist, oder beweisen Sie, dass immer Gleichheit gilt.

Danke im Voraus

Answer 1

a)  siehe auch

https://de.wikipedia.org/wiki/Urbild_(Mathematik)#Mengenoperationen_und_-eigenschaften

Bewies etwa so:

Sei x∈A. ==>  f(x) ∈ f(A)

==>  ∃y∈f(A) mit f(x)=y

==>  x ∈ f^-1(f(A)).

Die andere Inklusion gilt nicht. Betrachte etwa die Quadratfunktion

auf ℝ (Die ist halt nicht injektiv.) und A=[-2;0].

==>  f(A)=[0;4]

Die Urbildmenge von [0;4] ist aber [-2;2] , also

ist insbesondere 1  ∈ f^-1(f(A))  aber nicht 1 ∈ A.

Bei b) kannst du ähnlich argumentieren.