Nicht zu vergessen: Abgeschlossenheit gegen über +und *.
Für + etwa so a,b,c,d ∈ Q und
(a+3ib)+(c+3id) = (a+c) + 3i(b+d)
also ist das Ergebnis wieder von der Form a+3ib
mit a und b aus Q.
Für * a,b,c,d ∈ Q und
(a+3ib)*(c+3id) = ac + 3ibc + 3iad - 9bd
= (ac-9bd) + 3i(bc+ad )
also ist das Ergebnis wieder von der Form a+3ib
1. Kommutativgesetz
2. Assoziativgesetz
3. Distributivgesetz
gelten in C also auch in jeder Teilmenge von C.
neutrales Element ist 1 + 0*i
also auch von der Form a+3ib. Passt also .
Invereses : Seien a,b aus Q.
Nicht beide = 0; denn zu 0 gibt es kein Inverses.
gesucht ist in der Menge K
ein Element x mit (a+3bi)*x = 1+0i = 1
Wenn x von der Form c+3di ist :
(a+3ib)*(c+3id) = 1 + 0i
==> ac-9bd = 1 und bc+ad = 0 #
Für a=0 wäre das -9bd = 1 und bc= 0
Weil dann b≠0 gilt c=0 und d = 1/(-9b) , was für
jedes b≠0 in Q existiert, also gibt es in diesem Fall ein Inverses.
Für a≠0 folgt aus # d = -bc/a und
ac+9b^2 * c / a = 1
==> c*( a + 9b^2 / a ) = 1
==> c*( (a^2 + 9b^2) = a
==> c = a / ( a^2 +9b^2 )
und weil der Nenner nicht 0 ist, gibt es
auch so ein c in Q.
