Körper beweisen, komplexe Zahlen

Question

Aufgabe:

Sei K:={a+3ib|a,b∈ℚ} ⊆ ℂ. Bestimme, ob K ein Körper ist.

Eigenschaften für einen Körper sind:

1. Kommutativgesetz

2. Assoziativgesetz

3. Distributivgesetz

4. Invereses

5. Neutralelement

Aber wie genau wende ich die Sachen an?

Answer 1

Nicht zu vergessen: Abgeschlossenheit gegen über +und *.

Für + etwa so  a,b,c,d ∈ Q und

(a+3ib)+(c+3id) = (a+c) + 3i(b+d) 

also ist das Ergebnis wieder von der Form a+3ib

mit a und b aus Q.

Für *      a,b,c,d ∈ Q und
(a+3ib)*(c+3id) = ac + 3ibc + 3iad - 9bd

     =  (ac-9bd)  + 3i(bc+ad )

also ist das Ergebnis wieder von der Form a+3ib

1. Kommutativgesetz

2. Assoziativgesetz

3. Distributivgesetz

gelten in C also auch in jeder Teilmenge von C.

neutrales Element ist 1 + 0*i

also auch von der Form a+3ib. Passt also .

Invereses : Seien a,b aus Q.

Nicht beide = 0; denn zu 0 gibt es kein Inverses.

gesucht ist in der Menge K

ein Element x mit (a+3bi)*x = 1+0i = 1

Wenn x von der Form c+3di ist :

(a+3ib)*(c+3id) =  1  + 0i

==>        ac-9bd = 1   und  bc+ad = 0  #

Für a=0 wäre das       -9bd = 1  und bc= 0

Weil dann b≠0 gilt c=0 und d = 1/(-9b) , was für

jedes b≠0 in Q existiert, also gibt es in diesem Fall ein Inverses.

Für  a≠0   folgt aus #      d = -bc/a und

     ac+9b² * c / a   = 1

==>    c*(  a + 9b² / a ) = 1

==>       c*(  (a² + 9b²)  = a

==>    c =   a / ( a² +9b² )

und weil der Nenner nicht 0 ist, gibt es

auch so ein c in Q.

Comments

Man kann sich das Leben leichter machen, wenn man

gleich zu Anfang feststellt, dass \(K=\{a+bi|\; a,b\in \mathbb{Q}\}\) ist

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Also kann ich für Assoziativ/Kommutativ und Distributivgesetz sagen, dass die in C gelten und somit auch in der Teilmenge oder muss ich die Beweise dafür nochnal ausführen?