r und φ berechnen mit gegebenen Werten

Question

Bestimmen Sie r und φ∈]−π,π] so, dass für f(x)=7sin(x)+4cos(x) gilt: f(x)=rcos(x−φ).

Comments

Hat niemand einen Lösungsweg? Ich komme hier gar nicht mehr weiter.

Answer 1

Nach dem Additionstheorem gilt \(r\cdot\cos(x-\varphi)=r\cdot\sin\varphi\cdot\sin x+r\cdot\cos\varphi\cdot\cos x\).
Andererseits soll gelten \(r\cdot\cos(x-\varphi)=7\cdot\sin x+4\cdot\cos x\).
Koeffizientenvergleich liefert
(1)  \(r\cdot\sin\varphi=7\)
(2)  \(r\cdot\cos\varphi=4\).
Division liefert \(\tan\varphi=\tfrac74\). Bestimme daraus \(\varphi\) und damit \(r\).
Nach meinen Berechnungen ist \(f(x)=\sqrt{65}\cdot\cos(x-\arctan\frac74)\).

Answer 2

Hallo

schreibe um in $$( \sqrt{65} )*(\frac{7}{\sqrt{65}}sin(x)+(\frac{4}{\sqrt{65}} cos(x)) $$ dann ist  $$\frac{7}{\sqrt{65}} = sin(\phi) ; \frac{4}{\sqrt{65}}=cos(\phi)$$

denn die Summe der Quadrate ist 1

dann wende das Additionstheorem für cos an.

Gruß lul