Indexschranke von Folgen

Question

Aufgabe:

1) Wie lautet der Grenzwert x der Folge (x_n)_n≥2, wenn

x_n = \( \frac{1+\sqrt{n}}{1-\sqrt{n}} \)

2) Zu jedem ε > 0 gebe man eine Indexschranke n₀(ε) an, so dass für alle n > n₀(ε) : |x_n − x| < ε.

Problem/Ansatz:

Zu 1) Ist relativ schnell klar, dass der Grenzwert der Folge = -1 ist.

Zu 2) Habe ich eine Lösung vorgegeben bekommen, welche mir nicht ganz klar ist:

Wir suchen eine Indexschranke, sodass folgendes gilt

\( \left|x_{n}-x\right|=\left|\frac{1+\sqrt{n}}{1-\sqrt{n}}+1\right|=\left|\frac{1+\sqrt{n}+1-\sqrt{n}}{1-\sqrt{n}}\right|=\frac{2}{\sqrt{n}-1}<\varepsilon \)

Nun zu meiner Frage: Muss es im letzten Schritt nicht \( \frac{2}{1-\sqrt{n}} \) heißen? Oder was übersehe ich hier - den Betrag? Selbst durch den Betrag müsste doch  \( \frac{2}{1+\sqrt{n}} \) heißen, oder?

Comments

Bist du sicher, dass die Folge so angegeben ist?

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Danke für den Hinweis. Nein, es muss richtig heißen:

x_n = \( \frac{1+\sqrt{n}}{1-\sqrt{n}} \)

Könnte dies jemand korrigieren?

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Hallo,

die Definition des Betrags ist:

$$|x|=x \text{   falls }x \geq 0 \qquad \text{  und } \qquad |x|=-x \text{  falls }x <0$$

Letzteres greift in Deinem Fall.

Gruß Mathhilf

Answer 1

Wenn x_n=\( \frac{1+\sqrt{x_n}}{1-\sqrt{x_n}} \) dann ist x_n=1 für jedes n.

Answer 2

Aloha :)

Wir betrachten die Folge:$$x_n=\frac{1+\sqrt n}{1-\sqrt n}\quad;\quad n\ge2$$Um eine Vermutung für den Grenzwert \(x\) zu erhalten, formen wir um:$$x_n=\frac{1-\sqrt n+2\sqrt n}{1-\sqrt n}=\frac{1-\sqrt n}{1-\sqrt n}+\frac{2\sqrt n}{1-\sqrt n}=1+\frac{2}{\frac1{\sqrt n}-1}$$Für \(n\gg2\) nähert sich \(\frac1{\sqrt n}\) der \(0\) an, sodass wir als Grenzwert \(x=1+\frac{2}{-1}=-1\) vermuten. Zum Beweis des Kandidaten als Grenzwert wählen wir ein beliebiges \(\varepsilon>0\) und bestimmen:

$$\left|x_n-x\right|=\left|\left(1+\frac{2}{\frac1{\sqrt n}-1}\right)-(-1)\right|=\left|2+\frac{2}{\frac1{\sqrt n}-1}\right|=\left|\frac{\left(\frac2{\sqrt n}-2\right)+2}{\frac1{\sqrt n}-1}\right|$$$$\phantom{\left|x_n-x\right|}=\left|\frac{\frac2{\sqrt n}}{\frac 1{\sqrt n}-1}\right|=\left|\frac{2}{1-\sqrt n}\right|\stackrel{(n\ge2)}{=}\frac2{\sqrt n-1}\stackrel!<\varepsilon$$Wir müssen nun prüfen, ob es ein \(n_0\) gibt, so dass diese Ungleichung für fast alle \(n\) erfüllt ist, das heißt sie gilt ab einem bestimmten \(n_0\) für alle weiteren \(n\ge n_0\)$$\frac{\sqrt n-1}{2}>\varepsilon\;\;\Longleftrightarrow\;\;\sqrt n>2\varepsilon+1\;\;\stackrel{(n>0)}{\Longleftrightarrow}\;\;n>(2\varepsilon+1)^2\quad\leadsto\quad n_0=\lceil(2\varepsilon+1)^2\rceil$$

Für alle \(\varepsilon>0\) gilt also \(|x_n-(-1)|<\varepsilon\) für fast alle \(n\in\mathbb N\).

Damit ist der Grenzwert der Folge tatsächlich \(x=-1\).