Monoid beweisen, zeigen dass es keine Gruppe ist.

Question

Aufgabe:

Es sei A := {1,2,...,100}. Durch (A; ∗) mit der durch x ∗ y := min{x,y} für
alle x,y ∈ A definierten Operation ist eine Halbgruppe gegeben. (Das muss nicht
gezeigt werden. )
Beweisen Sie, dass (A; ∗) ein Monoid, jedoch keine Gruppe ist.

Problem/Ansatz:

Bin so vorgegangen, dass ich gezeigt habe, dass ein neutrales Element existiert.
Wenn ich x ∗ e = e ∗ x = x zeige, würde ich das mit e = 100 machen, da es das Maximum der aufgeführten Menge ist und somit jede Verknüpfung aufgrund der min{x,y} wieder auf x abbildet.

Der Beweis, dass es eine Gruppe ist, erwartet somit noch den Nachweis eines inversen Elements.

Das kann ja nicht vorhanden sein, da x ∗ y = y ∗ x = e nicht auf 100 abbilden kann, da es das größte Element ist.

Comments

Bin so vorgegangen, dass ich gezeigt habe, dass ein neutrales Element existiert.
Wenn ich x ∗ e = e ∗ x = x zeige, würde ich das mit e = 100 machen, da es das Maximum der aufgeführten Menge ist und somit jede Verknüpfung aufgrund der min{x,y} wieder auf x abbildet.

Ist ok.

Der Beweis, dass es eine Gruppe ist, erwartet somit noch den Nachweis eines inversen Elements.

Nein.

In einer Gruppe besitzt jedes Element ein inverses Element.

Das kann ja nicht vorhanden sein, da x ∗ y = y ∗ x = e nicht auf 100 abbilden kann, da es das größte Element ist.

100 ∗ 100 = 100.

Finde also einfach explizit ein Element, welches kein inverses Element besitzt.

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Ok, vielen Dank!

Ich weiß aber ehrlich gesagt nicht, wie ich das machen soll, bzw. wie da ein gutes Verfahren ausschaut. Kannst du mir da helfen?

Für mich ist da von 1... 100 jede Zahl gleich, es gibt ja nur ganze Zahlen.

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Naja z.B. für 1, da gilt für alle x in {1,...,10}, dass

1 * x = 1 = x * 1

Insbesondere existiert kein x s.d. 1 * x = x * 1 = e = 100, d.h. 1 hat kein Inverses.