Betragsungleichungen lösen mit Fallunterscheidung

Question

Aufgabe:

Zeichnen Sie die folgenden Mengen. Machen Sie dabei jeweils kenntlich, ob auch die Randpunkte
der Mengen enthalten sind. Geben Sie eine Begründung zu Ihrer Lösung an.

A ={x ∈R | x ≠ −2 und 3/|x+2| < 6 −3x

Problem/Ansatz:

Ich habe das jetzt umgeformt zu 1 < 2-x*(|x+2|).

Ich habe gegeben x ≠ −2, also sind meine beiden Fälle x < -2 und x > -2.

Wieso wird das im Betrag aber im Fall x < -2 zu -x-2 und bei x > -2 zu x+2? Wie komm ich auf die beiden Fälle x < -2 und x > -2?

Answer 1

3 / |x + 2| < 6 - 3·x

für x > -2 gilt

3 / (x + 2) < 6 - 3·x --> - √3 < x < √3

für x < -2 gilt

3 / (-(x + 2)) < 6 - 3·x --> x < -√5

Comments

Bei Beträgen müssen wir folgendes unterscheiden

|x| = x für x >= 0

|x| = -x für x <= 0

x = 0 bräuchte man dabei eigentlich nur in einem Fall betrachten. Ich machte das meist aber trotzdem in beiden Fällen,

damit unterscheidest du

|x + 2| = x + 2 für x + 2 >= 0

|x + 2| = -(x + 2) für x + 2 <= 0

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Wäre das beim Fall |x| = -x nicht x < 0 und nicht x <= 0? Sonst würde sich das ja kreuzen, kann ja nicht beides sein, oder?

Und als Intervall wäre das (-∞, -√5) und (-√3, √3) oder?

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|x| = -x stimmt ja auch für x = 0

Mathematisch schreibt man das nur in einen Fall rein. Ich schreibe es meist zweimal auf damit ich immer mit <= und >= arbeiten kann.

Wichtig war bei dir dass |x + 2| im Nenner stand und dann muss sowieso x + 2 = 0 ausgeschlossen werden.

Das siehst du aber auch in meiner Rechnung oben,.

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Eine Frage hätte ich noch: Wie kommt man auf die Fallunterscheidung x < -2 und x > -2? Was ist mit x = 2?

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Lies oben nochmals nach

damit unterscheidest du

|x + 2| = x + 2 für x + 2 >= 0

|x + 2| = -(x + 2) für x + 2 <= 0

Answer 2

Hallo

|negativ|=-negativ=positiv

oder probier es mit 2 Zahlen für x<,2 aus

(-3-2|=|-5|=5=-(-3)+-(-2)

in deiner Umformung fehlt eine Klammer! aber du sollst ja nur zeichnen, das kann man indem man 3/(x-2) Plotter und alles, was unter der x Achs legt nach oben spiegelt.

Gruß lul

Comments

Vielen Dank! Ich hab noch die Menge 3|x|+ |y|< 6, wie berechne ich da aber die Nullstellen? Ich hab ja das y da, krieg ich das dort weg?

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Hallo

betrachte zuerst das =

dann hast du eine Raute mit den Ecken (2,0)(0,6)(-2,0) und (0,-6) weil man leicht sieht, dass das die extremen Stellen sind. oder du betrachtest erst x,y>0 und lässt die Beträge weg und findest eine Gerdenstück om 1. Quadranten. dann x<0 |x|=-x y>0 eine 2. Geradenstück im 2. Quadranten  usw.

Gruß lul