Zu zeigen: wenn g•f und g surjektiv sind, ist f auch surjektiv

Question

Hallo!

Kann bitte jemand mir sagen, ob meine Lösung richtig ist.

In der Aufgabe muss man zeigen, dass:

wenn g•f und g surjektiv sind, f ist auch surjektiv.

Seien:

f: X —> Y,  g: Y—> Z

  g ist surjektiv, d.h.:
(∃y∈Y) g(y) = z , z ist beliebig mit z ∈Z

g•f ist surjektiv, d.h.:

(∃x∈X ) g•f(x) = g(f(x)) = z

Das ergibt :

(∃x∈X) f(x) = y

d.h f ist surjektiv

Danke im Voraus

Comments

Die Aussage ist falsch.

Answer 1

Aloha :)

Wenn \(g\circ f\) surjektiv ist, folgt nur, dass die "äußere" Funktion \(g\) surjektiv ist. Die "innere" Funktion \(f\) muss nicht surjektiv sein.

Gegeben: \(f\colon X\to Y\;\;;\;\; g\colon Y\to Z\;\;;\;\;(g\circ f)\text{ surjektiv}\)

Da \((g\circ f\colon X\to Z)\) surjektiv ist, gibt es für jedes \(c\in Z\) mindestens ein \(a\in X\) sodass \(c=(g\circ f)(a)=g(\,f(a)\,)\). Damit gibt es aber auch ein \(b=f(a)\in Y\), sodass \(c=g(b)\). Also ist auch die Funktion \(g\) surjektiv.

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Ich bedanke mich sehr!!

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Wenn du ein Gegenbeispiel dafür brauchst, dass die "innere" Funktion \(f\) nicht surjektiv sein muss, fällt mir auf die Schnelle Folgendes ein:

$$f\colon\{1,2,3\}\to\{1,2,3,4\}\;,\;f(x)=x$$$$g\colon\{1,2,3,4\}\to\{1\}\;,\;g(x)=1$$

Die Funktion \(f\) ist nicht surjektiv, weil das Ziel \(4\) aus der Zielmenge nicht getroffen wird. Die Funktion \(g\) ist sicher surjektiv, weil das eine Element aus der Zielmenge von jedem Element der Definitionsmenge getroffen wird.

Die Verkettung:$$(g\circ f)\colon\{1,2,3\}\to\{1\}\;,\;g(f(x))=1$$ist auch surjektiv, weil das einzige Zielelement \(1\) von jedem Element der Definitionsmenge getroffen wrid.

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Das ist genau was ich brauche! Danke danke!

Answer 2

Gegenbeispiel:

f : [0;1] → [-1 ; 1 ]  f(x)=x^2 ist offenbar nicht surjektiv, da z.B. -1 kein Funktionswert ist.

Aber g: [-1 ; 1 ] → [0;1] mit g(x)=x^2 ist surjektiv

Und (gof) : [0;1] → [0 ; 1 ] ist auch surjektiv.

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Vielen Dank! Das war sehr hilfreich