Wieso ist 0 * ∞ ein unbestimmter Ausdruck?

Question

Ich verstehe nicht, wieso es sich bei 0 * ∞ um einen nicht definierten Ausdruck handelt.

Egal wie hoch eine Zahl ist, die Null gewinnt am Ende doch immer. Mir ist keine Zahl bekannt, die mit Null multipliziert einen Ausdruck ungleich 0 ergibt. Selbst die höchste bekannte Zahl hat hier doch keine Chance...

Klar, ∞ selbst ist nicht definiert. Aber das sollte doch egal sein, da die Null doch sowieso immer dafür sorgt, dass das Produkt 0 ist.

Also: Wieso ist es falsch, zu sagen:

0 * ∞ = 0 

Comments

Betrachte mal $\frac{1}{n}\cdot n$. Dann geht der erste Faktor für

$n\rightarrow \infty$ gegen 0, der zweite gegen $\infty$.

Naiverweise würde man dann wohl sagen,

dieser Ausdruck gehe gegen $0\cdot\infty$, er konvergiert aber gegen 1.

Answer 1

UNENDLICH ist ein unbestimmter Begriff. Es ist keine Zahl. Man kann mit solchen Begriffen nicht rechnen und

keine sinnvollen Terme bilden.

Was soll z.B. 3*unendlich sein?

Comments

https://de.wikipedia.org/wiki/Erweiterte_reelle_Zahl

Was soll z.B. 3*unendlich sein?

Unendlich.

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Unendlicher als unendlich geht nicht.

Answer 2

weil unendlich nicht als Zahl definiert ist, genausowie Brüche mit 0 als Nenner

Aber du könntest den Grenzwert von

0*n rechnen für n nach unendlich, das wäre dann immer noch 0.

Answer 3

Hallo Mathwork,

zwei Anmerkungen dazu:

1. Es ist sicherlich nicht falsch, zusätzlich zu den reellen Zahlen ein Symbol ∞ einzuführen und 0*∞ irgendwie zu definieren. Von einem logischen Standpunkt her kann man das willkürlich machen. Die entscheidende Frage ist eher eine Geschmacksfrage: Ist eine Festlegung 0*∞:=0 inhaltlich sinnvoll oder nicht?

2. Speziell in der Maß- und Integrationstheorie ist eine solche Definition (laut Bauer: Maß- und Integrationstheorie) sogar üblich.

Viele Grüße

Tobias