Wieso ist 0 * ∞ ein unbestimmter Ausdruck?

Question

Ich verstehe nicht, wieso es sich bei 0 * ∞ um einen nicht definierten Ausdruck handelt.

Egal wie hoch eine Zahl ist, die Null gewinnt am Ende doch immer. Mir ist keine Zahl bekannt, die mit Null multipliziert einen Ausdruck ungleich 0 ergibt. Selbst die höchste bekannte Zahl hat hier doch keine Chance...

Klar, ∞ selbst ist nicht definiert. Aber das sollte doch egal sein, da die Null doch sowieso immer dafür sorgt, dass das Produkt 0 ist.

Also: Wieso ist es falsch, zu sagen:

0 * ∞ = 0 

Comments

Betrachte mal \(\frac{1}{n}\cdot n\). Dann geht der erste Faktor für

\(n\rightarrow \infty\) gegen 0, der zweite gegen \(\infty\).

Naiverweise würde man dann wohl sagen,

dieser Ausdruck gehe gegen \(0\cdot\infty\), er konvergiert aber gegen 1.

Answer 1

UNENDLICH ist ein unbestimmter Begriff. Es ist keine Zahl. Man kann mit solchen Begriffen nicht rechnen und

keine sinnvollen Terme bilden.

Was soll z.B. 3*unendlich sein?

Comments

https://de.wikipedia.org/wiki/Erweiterte_reelle_Zahl

Was soll z.B. 3*unendlich sein?

Unendlich.

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Unendlicher als unendlich geht nicht.

Answer 2

weil unendlich nicht als Zahl definiert ist, genausowie Brüche mit 0 als Nenner

Aber du könntest den Grenzwert von

0*n rechnen für n nach unendlich, das wäre dann immer noch 0.

Answer 3

Hallo Mathwork,

zwei Anmerkungen dazu:

1. Es ist sicherlich nicht falsch, zusätzlich zu den reellen Zahlen ein Symbol ∞ einzuführen und 0*∞ irgendwie zu definieren. Von einem logischen Standpunkt her kann man das willkürlich machen. Die entscheidende Frage ist eher eine Geschmacksfrage: Ist eine Festlegung 0*∞:=0 inhaltlich sinnvoll oder nicht?

2. Speziell in der Maß- und Integrationstheorie ist eine solche Definition (laut Bauer: Maß- und Integrationstheorie) sogar üblich.

Viele Grüße

Tobias