Beweis einer Ungleichung mit Implikation

Question

Seien m, n ∈ R.

Es gilt |x−m| < n genau dann, wenn m−n < x < m+n.

Problem/Ansatz:

Ich habe leider keinen Ansatz, nur die Vermutung, dass man eine eine Fallunterscheidung braucht.

Wäre wirklich toll, falls mir jemand an der Aufgabe zeigen könnte wie man das beweist! :)

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Natürlich muss \(n>0\) sein, weil die Betragsfunktion auch immer \(\ge0\) ist. Daher gilt:$$|x-m|<n\quad\Longleftrightarrow\quad-n<x-m<n\quad\Longleftrightarrow\quad m-n<x<n+m$$

Answer 2

Vorschlag für die Fälle: (i) x=m, (ii) x>m, (iii) x kleiner m.

Bei Betragsungleichungen dieser Form hilft gelegentlich auch quadrieren.

|x−m| < n ist äquivalent zu (x−m)^2 < n^2