Produktregel mit drei Faktoren

Question

Aufgabe:

,,Produktregel mit drei Faktoren"

Sei g(x)=u(x)⋅v(x)⋅w(x)
Dann klammert man zunächst: g(x) = (u(x)⋅v(x))⋅w(x)

Man wendet dann die Produktregel für zwei Faktoren an: g′(x) = (u(x)⋅v(x))' ⋅w(x)+(u(x)⋅v(x))⋅w′(x)

a) Bestimmen Sie händisch und in nachvollziehbaren Schritten den vollständigen
und fertig entwickelten Ausdruck für g′(x).

b) Wende diese Regel in nachvollziehbaren Schritten an die unterstehenden Funktionsgleichungen an:

- k(x)=x3 ⋅sin(x)⋅cos(x)
- l(x)=x3 +sin(x)⋅cos(x)⋅sin(x)

Answer 1

a)  g′(x) = (u(x)⋅v(x))' ⋅w(x)+(u(x)⋅v(x))⋅w′(x)
          = (u'(x)⋅v(x)+u(x)⋅v'(x))⋅w(x)+u(x)⋅v(x)⋅w′(x)

        = u'(x)⋅v(x)⋅w(x)+u(x)⋅v'(x)⋅w(x)+u(x)⋅v(x)⋅w′(x)

Comments

Wie würde man diese Regel an den Funktionsgleichungen der Aufgabe b) an wenden??

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bei a) etwa so

u(x)=x^3   ==>  u'(x)=3x^2

v(x)=sin(x) ==>  v'(x)=cos(x)

w(x)=cos(x) ==>   w'(x)= -sin(x) 

und dann einsetzen:

k'(X) = u'(x)⋅v(x)⋅w(x)+u(x)⋅v'(x)⋅w(x)+u(x)⋅v(x)⋅w′(x)

       =3x^2 * sin(x)*cos(x) + x^3*cos(x)*cos(x) + x^3 * sin(x) * (-sin(x))

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Danke für die Hilfe :)

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Kann man neben cos²(x) und sin²(x) noch andere Terme zusammenfassen??

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und wie würde man die Ableitung zur Funktionsgleichung l(x) ermitteln??

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Hab ich schon ermittelt, trotz allem vielen Dank für die Hilfe :)