Das ist jedoch nicht korrekt, denn \(0^0\) ist nicht definiert.
Geben Sie eine Basis des ℝ-VR ℝ[x] an, jeder normale Mensch schreibt hier \( (x^i)_{i \in \mathbb N_0} \)
Geben Sie eine Basis des ℝ-VR der Polynomfunktionen \( \mathbb R \to \mathbb R \) an, jeder normale Mensch schreibt auch hier \( (x\mapsto x^i)_{i \in \mathbb N_0} \) und nicht etwa \( (x\mapsto 1, x\mapsto x^i)_{i\in \mathbb N} \) oder so was.
Jetzt könnte man natürlich argumentieren, dass da ja nie \( 0^0 \) steht, viel mehr meint man mit \( x \mapsto x^0 \) ja die Abbildung \( x \mapsto E_x(x^0) \), wobei
$$ E_x : \mathbb R[x] \mapsto \mathbb R, p \mapsto p(x) $$
der Einsetzungshomomorphismus ist, und es ist eben per Definition \( x^0 := 1 \) im Polynomring \( \mathbb R[x] \), die Potenz wird also vor der Einsetzung von 0 im Polynomring definitionsgemäß gebildet und wird dort zum konstanten Polynom 1, welches bei Einsetzung von 0 dann den Wert 1 liefert. Aber das wäre ja Korinthenkackerei vom feinsten.
Es gibt viele Bereiche, in welchen die Definition \( 0^0 := 1 \) dienlich ist. Dann gibt es wiederum Bereiche, da ist sie nicht dienlich oder gar Blödsinn. Z.B. wenn man sich Gedanken über eine stetige Fortsetzung der - auf dem naheliegendem Definitionsbereich definierten - Funktion
$$ (x,y) \mapsto x^y $$
nach (0,0) Gedanken macht. Da ergibt \( 0^0 := 1 \) natürlich keinen Sinn. Weil die Funktion wird damit in (0,0) nicht stetig. Wenn ich aber eine Exponentialreihe definieren will: Für \( x \in \mathbb R \)
$$ \exp(x) := \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!} $$
da ergibt es sehr viel Sinn einfach \( 0^0 := 1 \) zu setzen, um nicht immer umständlich
$$ \exp(x) =1+ \sum_{k=1}^\infty \frac{x^k}{k!}$$
hinschreiben zu müssen. Wer macht das schon?
Wichtig ist bei solch kritischen Definitionen nur, dass man sein Hirn anstrengt und darüber nachdenkt.
Es spricht auch nichts dagegen konstante Funktionen als spezielle Potenzfunktion aufzufassen. Wenn es sinnvoll ist und keine fundamentalen Axiome verletzt, kann man eigentlich immer machen was man will.
