Analysis, Aufgaben, Konvergenz

Question

Überprüfen Sie schrittweise, ob die folgenden Zahlenfolgen konvergieren, und bestimmen sie den Grenzwert. 

1. a_n+1 = 1/2 a_n   ,   a₁ = a ∈ ℝ

2. a_n = $$ \sqrt [ n ]{ n+1 } $$

 

Answer 1

Zu 1.) Schreibe mal die ersten Folgenglieder auf...

$$a_1 = a$$

$$a_2 = \frac{1}{2} a_1 =\frac{1}{2} a$$

$$a_3 = \frac{1}{2} a_2 =\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} a = \frac{1}{4} a$$

$$a_4 = \frac{1}{2} a_3 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} a = \frac{1}{8} a$$

Also ist die Folge gleich

$$a_n = \frac{1}{2^{n-1}} \cdot a$$

Dies ist natürlich eine Nullfolge.

Zu 2.)

$$\sqrt[n]{n} \le \sqrt[n]{n+1} \le \sqrt[n]{2n}$$

$$\sqrt[n]{n} \rightarrow 1~(n \rightarrow \infty),~~\sqrt[n]{2n} = \sqrt[n]{2} \cdot \sqrt[n]{n} \rightarrow 1~(n \rightarrow \infty)$$

Also geht nach dem Sandwich-Lemma $$\sqrt[n]{n+1} \rightarrow 1$$.

Comments

Wie kommst du bei der ersten Aufgabe auf diese Lösung: a_n = $$ \frac { 1 }{ { 2 }^{ n-1 } } \bullet \quad a$$

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Na $$\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, ... = \frac{1}{2^1}, \frac{1}{2^2}, \frac{1}{2^3}, \frac{1}{2^4}, ...$$