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Für eine Gruppe \((G,\circ)\) ist zu zeigen:$$x\circ a=b\quad\text{mit }a,b\in G\quad\text{ hat genau eine Lösung }x\in G$$
1) Existenz einer Lösung:
Wir bezeichnen das eindeutig bestimmte negative Element zu \(a\) mit \((-a)\) und zeigen zuerst, dass \(x=b\circ(-a)\) die Gleichung löst. Dann ist nämlich:$$x\circ a=\underbrace{(b\circ(-a))}_{=x}\circ a=b\circ\underbrace{((-a)\circ a)}_{=0}=b\circ 0=b$$
2) Eindeutigkeit der Lösung \(x=b\circ(-a)\):
Wir nehmen an, es gibt ein weiteres Element \(y\in G\) mit der Eigenschaft \(y\circ a=b\). Dann verknüfen wir beide Seiten der Gleichung von rechts mit dem negativen Elment \((-a)\):$$(y\circ a)\circ(-a)=\underbrace{b\circ(-a)}_{=x}\implies y\circ\underbrace{(a\circ(-a))}_{=0}=x\implies y\circ0=x\implies y=x$$Das gewählte \(y\) muss also gleich der Lösung \(x\) sein. Die Lösung ist daher eindeutig.
