Beweise Sie, dass die Komposition von Relationen eine assoziative Operation ist.

Question

Aufgabe:

Beweise Sie, dass die Komposition von Relationen eine assoziative Operation ist, das
heißt, wenn S ⊆A×B und T ⊆C×D und U ⊆E×F, dann (S◦T)◦U = S◦(T ◦U)

Comments

Um \(S\circ T\) bilden zu können, muss \(D=A\) vorausgesetzt werden

oder wenigstens \(D\subseteq A\), sonst ist das Produkt der

Relationen überhaupt nicht definiert. Entweder hat der

Originalaufgabensteller hier geschlampt oder starken

Erklärungsbedarf. Vielleicht ist aber auch deine Wiedergabe

der Aufgabe verfälscht ?

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Die Wiedergabe ist richtig, es ist 1zu1 die Hausaufgabe, ich würde es nicht ausschließen, das R. einen Fehler beim Erstellen gemacht hat, wäre nicht das erste mal in dieser Woche.

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sonst ist das Produkt der Relationen überhaupt nicht definiert

Warum wohl nicht ?
S o T =  {(c,b) ∈ CxB | ex. x ∈ A∩D : (c,x)∈T und (x,b)∈S}  funktioniert doch prächtig.

Außerdem ist auch die leere Menge eine Relation.

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Das mag man gern so für sich machen. Es wäre aber nicht der Definitions-Standard.

Diesen findet man in der Kategorientheorie, in welcher Morphismen per Definition

nur verknüpft werden können, wenn das Zielobjekt des einen das Startobjekt

des anderen ist. Es handelt sich um die Kategorie REL, deren Beschreibung

man z.B. in

1. Saunders Mac Lane: Categories for the Working Mathematician,

S. 26 oder in

2. Martin Brandenburg: Einführung in die Kategorientheorie, S. 17

findet.

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Es sind mehr Angaben nötig (mindestens 12 Buchstaben).

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Ich habe die selbe Aufgabe gefunden mit der vorangestellten Definition: Es seien A, B, C, D, E, F beliebige aber feste Mengen. Demnach kann man selbst festlegen das D = A bzw D ⊆ A um den gegebenen Fall zu beweisen.