zylinderförmige Dose mit vorgegebenem Oberflächeninhalt und maximalem Volumen

Question

Aufgabe: Es soll eine zylinderförmige Dose mit maximalem Volumen aus Blech mit vorgegebenem Oberflächeninhalt A gergestellt werden.

Sei A unbekannt. Bestimme rechnerisch den Radius r, die Höhe h und das Volumen V

Problem/Ansatz:

Wir hatten die selbe Aufgabe mit A=150pi cm², jedoch bei der anderen komme ich schon bei der nebenbedingung nicht weiter. Wir haben im Unterricht als erstes die Hauptbedingung gemacht: V=pi×r×h, dann die Nebenbedingung A=2×pi×r×h + 2×pi×r². Ich kann aber die Nebenbedingung nicht umformen könnte mir da jemand helfen auch für die nächsten Schritte Extremwerte, Randwerte usw.

Wäre sehr dankbar

Answer 1

A= 2r^2*pi +2*r*pi*h = 150

r^2*pi+r*pi*h= 75

h= (75-r^2*pi)/(r*p)

V(r) = r^2*pi* (75-r^2*pi)/r*pi = 75r - r^3*pi

V'(r)= 0

75-3r^2*pi = 0

r^2 = 75/(3pi)

r= √(75/(3pi))

...

Answer 2

Oberflächeninhalt A=2π·rh+2π·r². Dann ist h=\( \frac{A}{2πr} \)- r.

Das Volumen V_A in Abhängigkeit von r ist dann

V_A(r)=π·r²(\( \frac{A}{2πr} \)- r).