Zeigen Sie, dass die Umkehrabbildung f−1: W → V ebenfalls linear ist

Question

Seien V, W Vektorrume, f : V → W eine bijektive lineare Abbildung. Zeigen Sie, dass die Umkehrabbildung f⁻¹: W → V ebenfalls linear ist

Answer 1

Seien \(w_1, w_2\in W\) und \(\alpha\) ein Element des dem Vektorraum \(W\) zugrundeliegenden Korpers. Ferner seien \(v_1, v_2\in V\) mit \(f(v_1) = w_1\) und \(f(v_2) = w_2\).

Zeige

1. \(f^{-1}(w_1) + f^{-1}(w_2) = f^{-1}(w_1+w_2)\),
   
2. \(f^{-1}(\alpha \cdot w_1) = \alpha\cdot f^{-1}(w_1)\).
   

Tipp: Verwende dabei die Definition der Umkehrfunktion (also dass \(f^{-1}(w_1) = v_1\) und \(f^{-1}(w_2) = v_2\) ist) und die Tatsache, dass \(f\) linear ist.