Erwartungswert, dass jede Kugel mindestens einmal gezogen wurde

Question

In einer Urne liegen r ∈ N unterscheidbare Kugeln.

Es werde mit Zurücklegen so lange gezogen, bis jede Kugel mindestens einmal gezogen wurde.
Sei Xr die Anzahl der nötigen Zuge. Bestimmen Sie E [Xr]. ?

Fakten:
i) Also es handelt sich um ziehen ohne reihenfolge mit zurücklegen,
ii) und es muss die Erwartungswert berechnet werden, dass jede Kugel mindestens einmal gezogen wurde

Answer 1

Sei \( X_{i} \) die Anzahl der Ziehungen um eine neue Kugel zu erhalten wenn wir schon \( i \) unterschiedliche Kugeln gezogen haben. Dann ist
\( X_{r}=\sum \limits_{i=0}^{r-1} X_{i} \Longrightarrow \mathbb{E}\left[X_{r}\right]=\mathbb{E}\left[\sum \limits_{i=0}^{r-1} X_{i}\right]=\sum \limits_{i=0}^{r-1} \mathbb{E}\left[X_{i}\right] \)
Die Wahrscheinlichkeit, dass du, nachem du schon \( i \) unterschiedliche Kugeln hast, eine neue ziehst, ist ja einfach
\( p_{i}=\frac{r-i}{r} \)
da du ja von den \( r \) Kugeln noch \( r-i \) brauchst und jede gleich wahrscheinlich ist. Auch ist klar, dass jedes \( X_{i} \) geometrisch verteilt ist, und somit erhalten wir
\( \sum \limits_{i=0}^{r-1} \mathbb{E}\left[X_{i}\right]=\sum \limits_{i=0}^{r-1} \frac{1}{p_{i}}=\sum \limits_{i=0}^{r-1} \frac{r}{r-i}=\sum \limits_{j=1}^{r} \frac{r}{j}=r \sum \limits_{j=1}^{r} \frac{1}{j}=r H_{r} \)
wobei \( H_{r} \) die \( n \) te harmonische Zahl ist (für diese Summe gibt es keine "einfache" geschlossene Formel).