Begründe, warum dieser Bewegungsvorgang durch die Differentialgleichung {m} · \dot{{v}}=-{b} · {v} beschrieben wird.

Question

Aufgabe:

Eine Motoryacht mit der Gesamtmasse \( \mathrm{m}=16 \) Tonnen bewegt sich auf einem ruhenden Gewässer geradlinig mit der konstanten Geschwindigkeit \( v=72 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} . \) Wird zum Zeitpunkt \( \mathrm{t}=0 \mathrm{~s} \) der Motor abgeschaltet, verringert sich die Geschwindigkeit innerhalb von \( 10 \mathrm{~s} \mathrm{um} \) \( 1,8 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} . \) Für die Reibungskraft \( F_{R} \) gilt: \( F_{R}=b \cdot v \)
1) Begründe, warum dieser Bewegungsvorgang durch die Differentialgleichung \( \mathrm{m} \cdot \dot{\mathrm{v}}=-\mathrm{b} \cdot \mathrm{v} \) beschrieben wird.
2) Ermittle die Funktion v, die die Momentangeschwindigkeit der Yacht nach dem Abschalten des Motors beschreibt, und gib den Reibungskoeffizienten b an.
3) Stelle die Funktion v grafisch dar und interpretiere den Verlauf.
4) Berechne, welchen Gesamtweg die Yacht nach dem Abschalten des Motors zurücklegen kann, ohne dass zusätzliche Kraft aufgewendet wird.

Problem/Ansatz:

Verstehe die Aufgabenstellung nicht, würde mich um einen Rechenweg sehr freuen.

MfG

Answer 1

$$ (1) \quad m \dot v = -b v $$ ist die Newtonsche Bewegungsgleichung mit einer Reibungskraft \( F_R = b \cdot v \) die der Fahrrichtung des Bootes entgegen wirkt.

Die Gleichung (1) hat die Lösung $$ (2) \quad v(t) = C e^{ - \frac{b}{m} t }  $$ Die Größen \( C \) und \( b \) bestimmt man aus den Bedingungen $$ (3) \quad v(0) = 20 \frac{m}{s} $$ und $$ (4) \quad v(10) =  20 \frac{m}{s} - 0.5 \frac{m}{s} = 19.5 \frac{m}{s} $$

Der zurückgelegte Weg ergibt sich durch Integration von (2) zu

$$ (5) \quad x(t) = -C \cdot \frac{m}{b} \left( e^{ -\frac{ b }{ m } t } - 1 \right)$$