\( \mathbb{E}[X(X-1)]=\mathbb{E}\left[X^{2}-X\right]=\mathbb{E}\left[X^{2}\right]-\mathbb{E}[X] \)
Nun weisst du ja, dass
\( \operatorname{Var}[X]=\mathbb{E}\left[X^{2}\right]-\mathbb{E}[X]^{2} \Longleftrightarrow \mathbb{E}\left[X^{2}\right]=\operatorname{Var}[X]+\mathbb{E}[X]^{2} \)
Da \( X \) binomialverteilt ist ergibt sich
\( \mathbb{E}\left[X^{2}\right]-\mathbb{E}[X]=\operatorname{Var}[X]+\mathbb{E}[X]^{2}-\mathbb{E}[X]=n p(1-p)+n^{2} p^{2}-n p=p^{2}\left(n^{2}-n\right) \)
