Grenzwert einer Folge mit e-Funktion

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die nachstehenden Grenzwerte:

a) 

\( \lim\limits_{n\to\infty} \) (1 + \( \frac{1}{3n-2} \) )ⁿ

^b) 

\( \lim\limits_{n\to\infty} \) (1 + \( \frac{\sqrt{n}}{(n+1)(n+2)} \) )ⁿ

Problem/Ansatz:

Mir ist bewusst, dass

\( \lim\limits_{n\to\infty} \) (1 + \( \frac{1}{n} \) ) ⁿ = e^x

Aber wie verbinde ich mein Wissen und die Aufgabe, wie muss nun der korrekte Rechenweg aussehen? Stehe irgendwie auf dem Schlauch.

Danke für Hilfe im Voraus!

Answer 1

Betrachten wir mal
\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{3 n-2}\right)^{n} \)
Du kannst einfach eine Substitution machen, nämlich \( m=3 n-2 \Longleftrightarrow n=\frac{m+2}{3} \), wobei sich der Limes nicht verändert.
\( \lim \limits_{m \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{m}\right)^{\frac{m+2}{3}}=\lim \limits_{m \rightarrow \infty}\left(\left(1+\frac{1}{m}\right)^{m} \cdot\left(1+\frac{1}{m}\right)^{2}\right)^{\frac{1}{3}} \)
Nun kannst du Limesregeln anwenden und den Fakt nutzen, dass \( x^{\frac{1}{3}} \) stetig ist, du also den Limes reinziehen darfst.

[spoiler]

Du erhältst also \(e^{\frac{1}{3}}\) als Grenzwert.

[/spoiler]

Comments

Toll! Jetzt hat es Klick gemacht. Werde die anderen Aufgaben nun auch bearbeiten können. Vielen Dank für die Hilfe! :)

---

Du schreibst, dass ich der Limes nicht verändert. Bei dir läuft er jetzt aber von m → ∞, statt von n. Ist das so erlaubt, darf man das einfach ändern? Und ist das dann immer noch eine korrekte Berechnung des \( \lim\limits_{n\to\infty} \) ? Ich hoffe du weißt was ich meine.

---

Ja, denn wenn \(n\) gegen unendlich strebt, so auch \(2n-3\). Der Satz der Limessubstitution ist nicht schwierig zu beweisen.

---

Alles klar. Stimmt, wir haben m ja 2n - 3 gesetzt. Dankeschön!