Welchen Wert besitzen die folgenden Integrale? ∫ dt/t, ∫ 3/√(1-x^2) dx, ∫ x^2 /(x^3 -8x^2 + 21x -18) dx

Question

Welchen Wert besitzen die folgenden Integrale?

∫₁^e  dt/t, ∫ 3/√(1-x^2) dx, ∫ x^2 /(x^3 -8x^2 + 21x -18) dx

\( \int \limits_{1}^{e} \frac{d t}{t} \quad \int \limits_{0}^{0,5} \frac{3}{\sqrt{1-x^{2}}} d x \quad \int \frac{x^{2}}{x^{3}-8 x^{2}+21 x-18} d x \)

Wie fängt man mit solchen Bruchintegralen am besten an?

Comments

Ich glaube da benötigst du die Substitution, bzw. wenn du den Nenner nach oben holst, die partielle Integration.

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Die Stammfunktion von 1/t solltest du einfach hinschreiben können:

∫₁^e  dt/t = ln t |₁^e = ln e - ln 1 = 1-0 = 1

∫ 3/√(1-x^2) dx, 

Die Stammfunktion von 1/√(1-x^2) solltest du in jeder Formelsammlung finden, bzw. ebenfalls auswendig kennen. Dann einfach noch mal 3.

Answer 1

Du solltest dir zuerst immer von Wolframalpha helfen lassen. Die Seite zeigt auch eine Schritt für Schritt Lösung an.

Ich konzentriere mich hier nur mal auf die unbestimmten Integrale. Der Rest ist ja nur noch einsetzen.

Wenn du auch mit Wolframalpha auf keine Lösung kommst, dann frag ruhig hier nochmal nach.


https://www.wolframalpha.com/input/?i=integral+1%2Ft

Das ist ein Grundintegral das man kennen sollte

∫ 1/t dt = ln(t)


https://www.wolframalpha.com/input/?i=integral+3%2F√%281+-+x%5E2%29

Auch dieses ist ein Grundintegral das man kennen sollte

∫ 3/√(1 - x^2) = 3·ARCSIN(x)


https://www.wolframalpha.com/input/?i=integral+x%5E2%2F%28x%5E3+-+8·x%5E2+%2B+21·x+-+18%29

Hier verwendet man am besten die Partialbruchzerlegung

∫ x^2/(x^3 - 8·x^2 + 21·x - 18) = - 3·LN(x - 3) + 4·LN(x - 2) - 9/(x - 3)