Aufgabe:
$$\text{ Sei }(a_{k})_{k\in\mathbb{N}} \text{ eine reelle Folge. Beweisen Sie die Äquivalenz der folgenden Aussagen: }$$
$$(i) \text{ Die Reihe }\sum \limits_{k=1}^{\infty}a_{k}\text{ ist absolut konvergent. }$$
$$(ii) \text{ Für jede Vorzeichenfolge } (b_{k})_{k\in\mathbb{N}} \text{ in } \left\{-1, 1\right\} \text{ ist die Reihe }\sum \limits_{k=1}^{\infty}b_{k}a_{k}\text{ kovergent. }$$
$$(iii)\text{ Es existiert eine unbeschränkte Folge }(N_{j})_{j\in\mathbb{N}} \text{ in }\mathbb{N} \text{ so, dass }\left\{\sum \limits_{k=1}^{N_{j}}|a_{k}|:j\in\mathbb{N}\right\}\text{ beschränkt ist. }$$
Problem/Ansatz:
$$\text{ Da }\sum \limits_{k=1}^{\infty}a_{k} \text{ absolut konvergent ist und da jede Vorzeichenfolge }(b_{k})_{k\in\mathbb{N}} \text{ in }\left\{-1, 1\right\} \text{ als Partialsumme }$$
$$\text{ das cauchy-kriterium erfühlt und damit konvergent ist folgt daraus, dass auch das Cauchy-Produkt }$$
$$\sum \limits_{k=1}^{\infty}b_{k}a_{k} \text{ konvergent ist. }$$
Da das Cauchy-Produkt konvergent ist folgt daraus, dass mindestens einer der beiden Reihen absolut konvergent sein muss.
Mein Problem ist vor allem (iii) noch darin zu intergieren.
