Eine ungerade Anzahl von Kubikzahlen

Question

Zeige: Die Summe einer ungeraden Anzahl k von aufeinanderfolgenden Kubikzahlen ist durch das k-fache der Basis des mittleren Summanden teilbar.

Comments

Du hast recht. Ich musste meine Aufgabe nachbessern. Vielen Dank für den Hinweis.

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Ja, noch eine Nachbesserung erforderlich. Langsam wird es mir peinlich.

Answer 1

Sei k=2l+1, n natürliche Zahl:

Wir definieren \( f(n,i) := (n-i)^3 + (n+i)^3 = 2n^3 + 6ni^2 \)

$$ \begin{aligned} S~ :=& \sum_{i=-l}^l (n-i)^3 \\ =& n^3 + \sum_{i=1}^l f(n,i) \\ =& n^3 + \sum_{i=1}^l 2n^3 + \sum_{i=1}^l 6ni^2 \\ =& n^3 + 2l n^3 + 6n\frac{l(l+1)(2l+1)}{6} \\ =& (2l+1)n (n^2 + l(l+1)) \\=& kn (n^2 + l(l+1)) \end{aligned} $$

Somit ist \( S \equiv 0 \mod (kn) \) 

Answer 2

Hallo,

die mittlere Kubikzahl sei a^3.

Dann treten (a-b)^3 und (a+b)^3 immer paarweise auf.

(a-b)^3+(a+b)^3= 2a(3b^2+a^2)

Da a bei jeder dieser Paarsumme ausgeklammert werden kann, ist die gesamte Summe durch a teilbar.

Jetzt muss noch die Teilbarkeit durch k gezeigt werden.

:-)